高速鐵路無砟軌道不平順分形特征淺析
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摘要:無砟軌道不平順作為線路服役狀態的直接表征，一直是高速鐵路檢查與維修作業的核心。為了深刻而有效地掌握無砟軌道不平順的時空分布特征，從分形幾何的基礎物理含義出發，確定軌道不平順的分形特征，比選軌道不平順分形維數的計算方法，通過分析典型高速鐵路無砟軌道不平順的累計檢測數據，討論分形維數進行軌道區段質量管理的可行性與合理性。結果表明:軌道不平順具有典型自相似性和標度不變性的分形特征，各種分形維數方法進行軌道不平順計算的結果具有顯著差異性，變差法計算的精度、魯棒性好，適合進行軌道不平順分形維數計算;分形維數可以有效地表征線路軌道服役狀態逐漸惡化的趨勢，受線路作業維修干擾較少。建議結合線路具體養修條件，進一步對不同線路條件下軌道不平順分形維數特征進行深入研究。
關鍵詞:軌道不平順;分形幾何;無砟軌道;分形特征;分形維數
無砟軌道作為高速列車行車的基礎結構，其服役狀態直接影響高速列車運行的平穩性和安全性［1］。軌道不平順作為軌道服役狀態劣化的直接表征，一直是鐵路管理部門養護維修作業的重點內容［2］。通過持續、高效、精準地對高速鐵路無砟軌道進行維修保養，目前我國高速鐵路軌道不平順時域幅值超限問題極少，軌道質量指數((trackqualityindex，TQI)保持著優秀狀態。以華東區某300km/h的高速鐵路為例，2020年5月動檢車單次檢查軌道不平順僅存在41次I級超限，病害里程占比為0．0034%。但同樣值得注意的是，由于該線路采用的CＲTSII型板式無砟軌道結構，線路維修部門通過線路巡檢，發現存在連續脹板病害的里程為1．45km，病害里程占比為0．57%;而從脹板區段軌道不平順的時域波形來看，呈現明顯的溫度效應，導致了脹板結構性病害，但脹板區段的時域幅值均滿足現行幅值管理中優良標準［3］。這說明現有無砟軌道不平順的管理存在一定的局限性，需要進一步地分析軌道不平順時空分布特征，實現軌道結構服役狀態精準而有效地管理。軌道不平順的檢測一般是通過軌道檢測車動態檢測來實現的［4］，對所獲取檢測值的評價管理，世界各國多采用區段均方值或局部偏差值等時域幅值方法，但各國的相應計算公式和管理長度略有不同，如中國和美國鐵路的TQI指數［5］、印度鐵路的TGI指數［6］、波蘭鐵路的J指數［7］、瑞典鐵路的Q指數［8］以及歐盟的SD指標［9］等。此外，由于高速列車運行中軌道不平順波長的作用顯著，除了利用常規的軌道不平順譜評價方法［10］外，研究人員從頻域和時頻域的角度，結合輪軌動力學作用，討論了軌道質量的評價方法，如文獻［11］基于輪軌系統動力響應采用帶通濾波方法建立了軌道不平順敏感波長計權評價指標;文獻［12］利用局部波動的多尺度標準差卷積變換模型提出了軌道局部波動指數;文獻［13］利用經驗模態分解法得到軌道不平順在各個波段的固有模態函數，提出軌道質量能量指標;文獻［14］則利用集合經驗模態分解對波長能量進行量化;文獻［15］基于神經網絡方法對車輛振動進行映射，通過振動影響來實現軌道質量的評價;文獻［16］利用分形維數討論了普速有砟線路軌道不平順在兩個波長區間的分形特征，文獻［17］則在其基礎上，結合歐盟標準，進一步地討論提速有砟線路在3個波長區間的分形特征。這些研究從多個層次和維度對軌道質量進行評價，具有十分積極的現實意義;但同樣值得注意的是，在各運行速度下不同車輛類型對軌道不平順波長的敏感度有顯著差異性，難以用統一波長區段進行定義和度量，雖然既有研究討論了有砟線路軌道不平順的分形特征，但該研究分形維數計算方法(尺碼法)的本質還是基于車輛振動響應的敏感波長，這無疑使得分形計算具有一定的不穩定性，無法建立統一的度量尺度。所以，需要進一步地挖掘軌道幾何不平順細觀特征，探究其內在反映的客觀規律，從而實現軌道質量的有效評價。基于此，本研究從高速鐵路無砟軌道不平順的分形特征出發，通過若干分形維數計算方法的比選，確定無砟軌道不平順的分形描述方法;分析典型高速鐵路無砟線路的累計檢測數據，研究無砟軌道不平順分形維數的分布特征，討論無砟軌道不平順的分形維數評價指標的可行性與合理性。
1軌道不平順分形特征與分形維數計算方法
1．1軌道不平順的分形特征
分形是指具有自相似性的一類圖形的總稱［18］。自相似性和標度不變性是分形的基本特征［19］。自相似性是指分形的局部與整體存在某種相似性，這種自相似可以是精確的自相似，也可以是近似或統計意義上的自相似。標度不變性是指對分形進行尺度變換，其分形特性保持不變的一種性質。因此，要實現軌道不平順分形特征的有效表達，首先需要確定其是否具有自相似性和標度不變性。一般而言，軌道不平順可以視為是由不同幅值、頻率、相角的簡諧波疊加而成的復雜隨機波，其局部與整體天然存在一定的相似性。由中國高速鐵路無砟軌道譜［20］可知，在一定范圍尺度(空間頻率)與測度(功率譜密度(powerspectraldensity，PSD))具有明顯的線性關系，即軌道不平順具有標度不變性，如圖1所示。根據標度不變性的定義，具有標度不變性的對象必定滿足自相似性［21］。而對于軌道不平順這種自然界中的分形現象而言，其自相似性應表現為統計自相似;統計自相似可以由統計自相似度來定量描述，統計自相似度是由對尺度和測度線性回歸的相關系數以及相關系數的臨界值來定義的［22］，即式中:r為線性回歸的相關系數;n為數據點數;rα(n－2)為相關系數r在顯著性水平α下、強化系數為m、自由度為(n－2)的臨界值;顯著性水平取為0．05，m的經驗取值為6;tα2(n－2)為在顯著性水平α下、自由度為(n－2)的t檢驗臨界值;ρα為在顯著性水平下α的統計自相似度。為了說明軌道不平順的統計自相似度，本文這里采用華東地區某高鐵線路2020年5月軌檢車測得的動態不平順數據作為樣本來源，軌道類型為CＲTSⅡ型板式無砟軌道，設計速度為350km/h，日均發車頻率為140對，線路運營速度為300km/h;軌道綜合檢查車為CＲH380AJ－0203，檢測速度284km/h，檢測波長范圍為1．5～120．0m，采樣間隔為0．25m。根據TB/T3352—2014《高速鐵路無砟軌道不平順譜》的相關規定，軌道不平順樣本選取長度為1024m、基礎形式為簡支梁橋的左高低不平順數據作為分析對象。數據樣本及其功率譜如圖2所示。通過對圖2(b)的線性區域進行最小二乘線性回歸，采用功率譜密度法的計算公式可得到分形維數D為0．5664，線性回歸的相關系數r為0．9566，如表1所示。利用式(1)和式(2)可得相關系數r的臨界值，rα(n－2)為0．7593，統計自相似度ρα為0．9661。而統計自相似度越接近1則說明自相似程度越高，因此，可以表明軌道不平順具有顯著的統計自相似性特征。結合其標度不變性結論，可以確定軌道不平順時域波形具有顯著的分形特征。
1．2分形維數計算方法
對于具有顯著分形特征的曲線進行定量化描述，一般是采用分形維數的方法;目前尚無統一的標準對所需采用的計算方法進行界定，通常是根據所研究對象的特征，利用盒維數法、尺碼法、功率譜密度法、結構函數法和變差法等進行計算［23］。這些方法中目前應用最為廣泛的是盒維數法，已應用于軌面不平順評價［24］和無砟軌道傷損的識別中［25］;而針對于軌道不平順，既有Hyslip和Landgraf等的研究采用的是尺碼法，但計算步長實際上表征了不同的波長特征，不同線路呈現出的波長特征有顯著差異性，且列車的動力影響也較大，因此，導致計算的軌道不平順分形維數具有典型的不穩定性;而關于高速鐵路無砟軌道不平順的分形維數研究，目前就作者所知尚無相關的報告。所以，需要深入地討論高速鐵路無砟軌道不平順分形維數的表征方法。一般而言，分形維數是通過對雙對數坐標系中尺度和測度的線性區域進行最小二乘線性回歸、利用回歸直線的斜率與分形維數存在一定的數學關系來獲取的，表1為各種分形維數測定方法及其計算公式。
2無砟軌道不平順分形維數計算方法比選
2．1分形維數計算方法有效性驗證
作者采用MATLAB軟件對1．2節相關算法進行實現，為了驗證算法的有效性，進而分析各種算法的適用性，需要對算法進行比較。鑒于Weierstrass－Mandel-brot函數在形狀和波動程度上與軌道不平順相似度較高且廣泛用于不平度的模擬(如路面不平度等)和分形算法的評價，因此，本文選取Weierstrass－Mandelbrot函數進行分析。Weierstrass－Mandelbrot函數是具有自相似性、標度不變性和確定分形維數的理想分形曲線［26］，其具體表達式如下Z(x)=GD－1∑∞n=nLcos(2πλnx)λ(2－D)n，1＜D＜2，λ＞1(3)式中:Z(x)為隨機輪廓高度;x為輪廓的位置坐標;G為特征尺度系數;D為分形維數，λn為輪廓的空間頻率。根據驗算結果，G取為0．01，λ取為1．5，x在［1，2］間取值，一般可以通過改變D值來獲取分形維數介于1～2的W－M曲線。D為1．2、1．4、1．6、1．8時的W－M曲線如圖3所示。對上述W－M曲線進行計算，各種方法的計算值與理論值間的誤差如圖4所示。由圖4可知，盒維數法、尺碼法、功率譜密度法、結構函數法和變差法計算所得分形維數值的平均相對誤差值分別為8．42%、10．97%、13．17%、1．91%和6．13%，即結構函數法計算得到的平均相對誤差最小，功率譜密度法則平均相對誤差最大。而平均相對誤差越大，說明計算中尺度與測度的線性關系越差，線性回歸的相關系數也就越低。所以，對于與軌道不平順特征相類似的W－M曲線而言，結構函數法和變差法的計算結果相對精度較高。后文中，將采用這兩種方法進行軌道不平順的分形維數計算，進一步討論適用于軌道不平順分形維數的最佳計算方法。
2．2軌道不平順分形維數計算方法的適用性分析
由于Hyslip和Landgraf等的研究中已采用了尺碼法進行了計算，因此，本文選取了尺碼法、結構函數法和變差法3種方法進行軌道不平順分形維數的分析。圖5所用數據與1．1節中所述數據來源一致。為了說明軌道不平順的統計自相似度，采用華東地區某高鐵線路2020年5月軌檢車測得的動態不平順數據作為樣本來源，軌道類型為CＲTSⅡ型板式無砟軌道，設計速度為350km/h，日均發車頻率為140對，線路運營速度為300km/h;軌道綜合檢查車為CＲH380AJ－0203，檢測速度284km/h，檢測波長范圍為1．5～120．0m，采樣間隔為0．25m。由于高低和軌向不平順是高速列車垂向和橫向振動的主要激勵源［27］，因此，本文這里將此兩種類型的軌道不平順作為對象進行研究。由圖6和表2可知，3種方法計算得到的分形維數具有顯著的差異性，根本性原因在于算法的差異性而導致計算斜率表現形式不同，而計算斜率的分段表達，使得分形維數出現了不同的區段值。變差法的算法魯棒性較好，無標度區間寬，計算結果為單一的維數，且線性回歸的相關系數較為理想，對軌道不平順曲線的適應性較好。另外兩種方法，特別是尺碼法，曲線分段趨勢明顯，且不同類型的軌道不平順曲線分段也有所不同;結構函數法則同樣呈現不同分形維數的分段結果。值得注意的是，上述不同算法中，曲線分段點具有顯著的不穩定性，不同的樣本計算結果分段點有所不同，這與文獻［28］結論一致;因此，為了方便應用和計算，對于高速鐵路無砟軌道不平順應該采用變差法進行分形維數的計算。將采用變差法對全年累計的軌道不平順檢測數據進行分析，以進一步說明分形維數在軌道區段質量管理應用的有效性。
3軌道區段質量的評估
3．1分形維數與TQI相關性分析
為了說明利用分形維數對軌道區段質量進行評估的可行性和合理性，需要將分形維數與現有評價指標進行比較。軌道質量指數是定義區段軌道質量狀態的綜合性指標，是鐵路管理部門對軌道質量狀態進行管理和制定養護維修計劃的重要依據。因此，本文首先討論了TQI與分形維數之間的相關性。大量的樣本是統計分析的前提，這里選用100km的軌道不平順動態檢測數據、數據來源同前，樣本點數為400000，參照TQI管理中要求的200m長度進行分段，分別計算高低和軌向不平順的單項TQI和分形維數間的相關系數，結果如圖7所示，可知軌道不平順分形維數總體變化趨勢與TQI變化趨勢一致，即分形維數在某種程度上可以有效地反映區段軌道質量的變化趨勢。
3．2實例分析
這里分析的線路同前，只是數據樣本的檢測時間范圍為2019年1月—2019年12月，共計23次檢測數據。同樣計算200m區段的高低不平順、軌向不平順的單項TQI和分形維數，以及區段整體的TQI和分形維數之和，其計算結果如圖8所示，分別對計算結果線性擬合，研究分形維數和TQI的變化規律。由圖8可知，軌向不平順單項TQI與分形維數變化規律較為近似，均逐漸變大，說明了軌向不平順的逐漸惡化趨勢。高低不平順單項TQI和區段整體的TQI變化規律則與軌向不平順有較大的差異性，即在1月—7月呈現逐漸增大的趨勢，而在夏季突然變大，這主要是由于無砟軌道內部溫度應力較大而使得軌道板變形映射到高低不平順所引起的。而夏季分形維數則表現較為穩定，這是因為分形維數主要反映軌道不平順曲線充滿空間的能力以及曲線的疏密程度和波動程度，對于樣本幅值變化不敏感，所以其變化較小甚至較為穩定。經過夏季針對性地保養和維修，9月份之后高低不平順單項TQI和區段整體的TQI有明顯的下降，區段質量狀態有了顯著的改善，即圖中產生了“臺階”。而在維修保養之后高低不平順單項TQI和區段整體TQI均呈現較為穩定的結果，變化較小。但是對于高低不平順的分形維數以及區段的分形維數之和則呈現了一直增大的趨勢。因此，對比TQI幅值可知，線路短暫性的維修保養對于軌道不平順分形維數影響較小，即使經過了針對性維修保養，雖然表面上降低了TQI值，控制了高低不平順的進一步惡化，但本質上軌道區段仍然還是處于逐漸惡化的狀態，分形維數具有表征軌道結構實質狀態的能力，這是目前TQI管理所不具備的。同樣值得注意的是，TQI與分形維數的波動范圍較小，說明目前線路的幾何狀態是較為穩定的，可以保證高速列車的運營安全。所以，綜上可知，不同類型的軌道不平順的分形維數與單項TQI指數關系不同，但對于區段質量而言，分形維數呈現了逐漸變大的趨勢，可以表示為軌道區段服役狀態的逐漸劣化現象，這無疑為線路軌道的預防性維修提供了有效的指導，可通過深化分析其變化規律來合理地安排維修周期和維修量。
4結論
本文討論了高速鐵路無砟軌道不平順的分形特征，確定了軌道不平順分形維數的計算方法，并給出了無砟軌道線路狀態劣化的典型結果，可以得到以下結論:(1)軌道不平順具有典型自相似性和標度不變性的分形特征。(2)不同分形維數計算方法對于軌道不平順進行計算，其結果具有顯著差異性，變差法呈現計算精度較高、無標度區間寬、魯棒性強等特點，建議采用變差法進行軌道不平順的分形維數計算。(3)分形維數可以有效地表征軌道服役狀態逐漸惡化的趨勢，受線路作業維修干擾較少，這個無疑為軌道預防性維修提供了的有益補充，未來可進一步的深入研究，分析分形維數與軌道劣化速率的關系，形成有效地軌道區段質量管理方法。
作者:李再幃 吳鵬飛 劉曉舟 何越磊 單位:上海工程技術大學深圳技術大學
