復變函數與中學數學教學淺析

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摘要：本文從高中數學課程標準“復數”內容的變革和高觀點教學等角度分析了《復變函數》對中學數學教學的重要意義，希望能讓師范生重視《復變函數》的學習．

關鍵詞：復變函數；中學數學教學；高觀點

《復變函數》是數學與應用數學專業學生在大學階段的必修課程，但由于師范生畢業后主要從事中學教學工作，中學數學教學中有關復數的知識點只在高中數學中出現，且相較于整個高中數學學習內容來說占比很小，高考試題中要求直接運用復數這一知識點求解的題型一般以選擇或填空題出現，所占卷面分值不高．所以在當今應試教育的背景下，大學生很容易產生學習《復變函數》的思想誤區，覺得學習《復變函數》對中學教學用處不大，從而不重視這門課程的學習．隨著師范類專業認證的改革，師范生都需要通過教師資格證考試來獲得教學資格．而中學數學教師資格證考試涉及的大學數學知識主要是數學分析、高等代數、解析幾何和概率論與數理統計，這就使得數學專業師范生更加不重視《復變函數》的學習．事實上，《復變函數》對中學教學有著重要的指導意義．下面，我們將從多方面對此加以分析．

１復數內容在普通高中數學課程標準中的變革凸顯了該課程的重要性

我們先比較２００３版《普通高中數學課程標準（實驗）》和《普通高中數學課程標準（２０１７版）》，具體見表１．由表１可知，從模塊放置角度來看，復數由２００３版的選修模塊放到了２０１７版的必修模塊“幾何與代數”；從教學內容與要求來看，《普通高中數學課程標準（２０１７版）》增加了復數的三角表示這一引申內容；從教學建議角度來看，２０１７版課程標準更注重對復數的表示及幾何意義的理解，對學有余力的學生可增加引申內容“復數的三角表示”．此外，２０１７版課程標準必修模塊“幾何與代數”包括平面向量及其應用、復數、立體幾何初步三部分內容［１］．首先，通過對向量的學習，學生可理解平面向量的幾何意義和代數意義，掌握平面向量的概念與運算，從而借助向量建立起幾何與代數的橋梁；其次，由于復數與復平面上的點一一對應，可把復數視為二維向量，復數的加減就對應向量的加減，復數內容放置在平面向量之后，既能幫助高中生進一步鞏固向量知識，還能讓他們深刻理解兩者之間的關系，牢固代數與幾何的橋梁；最后，在平面向量與復數的基礎上擴充立體幾何，注入更復雜的幾何運算，進一步拓寬幾何與代數的橋梁．因此，普通高中數學課程標準這一綱領性教學文件的變革充分體現了高中數學學習中復數內容的重要性．

２《復變函數》為職前中學教師的高觀點教學打下良好的基礎

復數是銜接中學數學與大學《復變函數》的重要內容，在沒有學習這門課程前，數學專業師范生對于復數領域的了解程度非常淺，學習本課程后不僅會更深刻理解復數內容，更能拓寬自身對《復變函數》的認知視野，從而重視對中學生學習復數的引導，設計更有效的教學．（１）學習《復變函數》，數學專業師范生可了解《復變函數》的初步發展歷史與前沿，理解其中蘊含的數學文化價值．瑞士數學家歐拉首次采用虛數單位ｉ＝－１，打破了負數沒有平方根的認知．復數的引入是中學階段數系的又一次擴充，數系擴充的過程體現了數學的發現和創造過程，同時體現了數學發生、發展的客觀需求［２］，它解決了實際問題在實數范圍內無法滿足的需求．《復變函數》是《數學分析》的后繼課程，是實分析理論在復數域上的拓展，因此，《復變函數》的講授經常結合數學分析知識進行類比，幫助學生順利過渡到對復分析理論的發展歷程的理解，體會人類理性思維在數學理論拓展中的作用．（２）學習《復變函數》，數學專業師范生可系統掌握《復變函數》的基本理論與思想方法．數學專業《復變函數》課程一般講授復數理論、解析函數、復積分、復級數理論、留數理論等，參見［３］．《復變函數》的開篇一般是復數理論，復數可以看作為向量，復數的加減對應向量的加減，復數的模與輻角對應向量的長度與方向；復數的三角表示和指數表示建立在復數的幾何意義基礎上，兩個復數相乘ｚ１ｚ２相當于把復數ｚ１這個向量伸縮ｚ２倍，然后再旋轉一個角度（ｚ２的輻角）；一個復數ｚ＝ｒｅｉθ開ｎｎ（≥２）方共有ｎ個根，它們均勻地分布在以原點為圓心半徑為ｎｒ的圓周上，是內接于該圓周的正ｎ邊形的ｎ個頂點．復平面上點的標準鄰域對應一個圓盤．學習解析函數以及多值解析函數都必須借助圖形加以理解．復積分的值一般不僅依賴積分曲線的起點與終點，還與積分路徑有關，而柯西積分定理揭示了復積分與路徑無關，它取決于被積函數的解析性和解析區域的單連通性．柯西積分公式告訴我們：用積分曲線上的值可以表示解析函數在積分曲線所圍區域的內部值．解析函數的唯一性定理說明：一個函數在區域內的局部取值可確定它在該區域內的整體的值．Ｐｉｃａｒｄ定理描繪了解析函數在本質奇點領域內的特性．Ｒｏｕｃｈé定理考察零點的分布情況．由上可知，不管是從教材的編寫還是講授來看，幾何思想貫穿整個復變函數內容，充分體現了《復變函數》是分析的幾何化［４］，學習復變函數理論能讓學生進一步領會代數與幾何結合的神奇之處．（３）學習《復變函數》，數學專業師范生可優化教學設計，為中學數學解題提供新方法．復變函數為中學數學解題提供了很多新思路和新方法，中學數學習題里不等式的證明、求函數的最值問題、平面幾何證明等各類題型都能夠運用復變函數知識來解決，該方面的具體研究成果見［５］．這里我們以三角函數恒等式的證明為例進行具體分析，在中學課堂上，教師先教授向量法證明兩角差余弦公式，再以此公式為基礎導出其它三角函數公式，而我們學習了復數的三角表示后，可以補充歐拉公式ｅｉｘ＝ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ，再利用此外，利用歐拉公式比較容易推導關于三倍角、五倍角等的三角函數公式，這里以三倍角的三角函數公式為例展開推演：

3結語

總而言之，數學專業師范生學好《復變函數》既可深入理解中學復數內容，又可在進入中學教學后從更高角度講授好中學復數內容.希望各位數學專業師范生能重視本課程的學習，創新教學思維.

參考文獻

［１］中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準［Ｍ］．２０１７版．北京：人民教育出版社，２０１７．

［２］中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（實驗）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００３．

［３］鐘玉泉．復變函數論［Ｍ］．４版．北京：高等教育出版社，２００４．

［４］潘麗云．維爾斯特拉斯的復變函數思想分析［Ｄ］．西安：西北大學，２００９．

［５］林炎生．復數在中學數學解題中的應用例舉［Ｊ］．中學課程輔導：教學研究，２０１４，（２５）：１５３－１５４．

作者:李瀏蘭 方敏 劉剛 單位:衡陽師范學院數學與統計學院