高等數學實際應用
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高等數學實際應用范文第1篇
關鍵詞：柯西不等式；應用；高中數學
中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）25-137-02
在自然界中，不等量關系是普遍存在的，是最基本的數學關系，也是數學研究的重要內容，不等式在數學研究和數學應用中起著重要作用。柯西不等式是由19世紀數學家（Cauchy）在研究數學分析中的“留數”問題時發現的，柯西不等式出現中學課本中，是中學生解決一系列疑難問題的法寶。為讓學生對柯西不等式有更好的認識、了解，本文從特殊到一般的介紹柯西不等式，對柯西不等式的一般形式做證明，再給出柯西不等式在中學數學中的應用的一些典型案例。
柯西不等式――初等中學的形式
一、二維形式的柯西不等式
1、二維形式的柯西不等式
若 都是實數，則 ，當且僅當 時，等號成立。
2、柯西不等式的向量形式
設 是兩個向量，則 ，當且僅當 是零向量時，或存在實數 ，使 時，等號成立。
3、一般形式的柯西不等式
設 都是實數，則 ――（1）
當且僅當 或存在實數 ，使得 時，等號成立。
二、柯西不等式的應用
1、利用用柯西不等式證明恒等式
用柯西不等式取等號的條件或者兩邊夾逼的方法證明某些恒等式。
例1、已知 ，求證： 。
證明：由柯西不等式
當且僅當 時，等號成立。即 ，得 。
2、利用柯西不等式證明一些不等式
觀察欲證不等式的特征，結合已知條件，對照柯西不等式的標準形式，構造柯西不等式的兩組數，用柯西不等式來證明不等式，往往可以使復雜問題簡單化。
例2、已知 ，且 ，求證
證明：因為
，
利用柯西不等式證明時，關鍵是構造出柯西不等式的兩個適當數組，常用的技巧是“1”和常數的變化轉化，體現轉化化歸思想。
3、利用柯西不等式求某些函數的最值
例3、已知 ，求 的最小值。
解：
由柯西不等式： ，所以 ，
當且僅當 ，即 時，等號成立，所以 。
例4、求函數 ， 的最大值。
解：因為 ，所以 。由柯西不等式得：
，當且僅當 時，取等號。
4、利用柯西不等式解某些方程
不等式中的等號成立的時候，不等式就成了方程，由此可以利用柯西不等式取等號的充分必要條件解方程。
求方程 的解。
解：方程可變形為： ，當且僅當 時，取等號，解得 。
5、柯西不等式在解析幾何方面的應用
例6、直線 與橢圓 相切，求切點坐標 。
解：因為 所以，由柯西不等式得：
。
當且僅當 即 ，代入 ，解得 ，所以 。
6、利用柯西不等式解三角和幾何問題
例7、在半徑為 的圓內，求周長最大的內接長方形。
解析：假設出變量表示長方形的周長，得出目標函數，在利用柯西不等式求解。
解：設內接長方形 的長 、寬為 ，于是長方形 的周長 ，由柯西不等式得：
。當且僅當 ，即 時，取等號。此時寬為 即內接長方形 為正方形時，周長最大為 。
7、利用柯西不等式求參數的取值范圍
例8、已知正數 滿足 ，且不等式 恒成立，求 的取值范圍。
解析：利用柯西不等式求出最值，也即求出 的取值范圍。
解：因為
，所以 的取值范圍 。
柯西不等式在中學階段，雖然只是選講內容，但在高考中經常出現，引起了教師教學的重視。柯西不等式不僅應用于證明代數不等式，它在實數大小比較、解方程、確定參數的取值范圍、求最值及幾何不等式的證明等方面都有廣泛的應用。
運用柯西不等式的過程中，要求我們要以敏銳的思維，細致的觀察，構造出適合柯西不等式的兩組數，以便可以使用柯西不等式。這是學生拓寬知識，打開思維的鑰匙，是解決一系列問題的法寶。
參考文獻：
[1] 劉紹學.高中數學選修4―5.北京：人民教育出版社，2012.12.
高等數學實際應用范文第2篇
【關鍵詞】因子分析法 評價過程
【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）02-0168-02
應用型人才在當今的社會發展的體系中尤為重要。若是要培養當今社會所需求的應用型人才，我們必須要改變現有的高等數學的教學理念，改革教學的內容、方式以及相應的課程評價的方式，旨在培養出學生活用數學去解決現實生活的實際問題的能力。
如何作出合理的課程評價體系或模型是解決課程的實施情況問題的重要條件。在該類問題的評價過程中，通過數據的調查、整合、合理化的數據分析，從多個方面分析數據，檢驗數據，從而使數據具有一定的可靠性。通過分析某高校在一段時間內在課程改革方面的調查數據，包括在這段期間內所投入的人力物力，以及著這段期間內該種課程所獲得的成效，建立出一個合理的課程評價模型，在得出模型后再對此進行深入準確的分析，最終通過得出的數據給出相應的答案。
課程評價體系模型的建立：
1.對原始數據進行處理分析
主要成分分析的課程變量有n個，y1，y2，L，yn共有m個評價對象，但由于各指標沒有統一的量綱，所以需對這些原始數據進行歸一化的處理，得到指標yij。首先需要對判斷矩陣進行歸一化處理，即：
終語
通過該模型的建立，可以提高人們對該課程的認識深度，可是使應用型人才的教程在社會中更好的普及使用。在模型建立分析中，提高學生的自主學習能力，在此過程中使學生對其產生興趣，從而對知識有了更加深刻地認識，再次所得到的能力可以更好的適用于社會，應用于社會。面對模型存在的缺點，我們要多多進行數據的整理分析，盡可能減少人為性誤差的影響，使模型在應用中具有一定的說服力，高效完成適應高等應用型人才培養《高等數學》課程的評價體系。
參考文獻：
高等數學實際應用范文第3篇
關鍵詞：高等數學；教學改革；分層次教學；實驗教學
高等數學是工科最重要的一門基礎課程。隨著現代科技的飛速發展，以及知識經濟時代的到來，數學的重要性已逐漸被人們所認識。社會的發展對人才的需求越來越多，對人才的要求也越來越高。高等數學的學習可以提高學生的分析問題與解決問題的能力，還可以培養學生的創新能力等，總之，學習高等數學有助于學生綜合素質的提高。因此，如何提高學生高學生學習數學的興趣，培養學生的創新能力，提高高等數學課程的教學質量，已經是我們迫切需要解決的問題了。為此，分析目前高等數學教學過程中存在的問題與不足，對高等數學教學進行改革勢在必行。
一．高等數學教學過程中存在的問題與不足。
數學在科學技術中有著不可替代的作用。而高等數學教學在工科教學中的地位不斷下降則與數學在科學技術中的地位的不斷提高形成鮮明對比，這些僅從學校對此課程的重視程度及課時量等方面都有所體現。這種狀況必然會成為為社會培養大批高質量的高素質的人才的障礙。高等數學教學的需求與有限的學時數存在著矛盾。數學的發展是迅速的，數學的應用領域越來越廣，傳統教學方式很難在有限的教學課時內做到面面俱到。現代科技的高速發展與教學手段落后形成矛盾。現代科技的發展為教學提供了多媒體等先進的教學手段，但如何準確、有效地運用先進的信息技術手段進行教學，才能達到最好的教學效果，是目前我們需要思考的一個問題。另外，知識的傳授與能力的培養存在著矛盾。傳統的教學方式注重于書本知識的傳授，重視的是學生對定義、定理的理解及解題能力與解題技巧的掌握。而學生自學能力、創新能力、實踐能力的培養往往被忽視，而這些能力都是學生畢業后能否盡早地適應社會所必備的。
二．高等數學教學改革的具體措施。
1．改革傳統的教學模式，實行分層次教學。依據素質教育的要求，實行分層次教學，按專業、學生、教材、考核方式等方面進行分層次。分層次教學是教師因材施教的具體體現，這種教學法可以調動學生學習數學的積極性，提高學生學習高等數學的興趣，可以使不同層次的學生在學習數學時都能學有所得。分層次教學法的正確運用，可使學生明確學習目的，增加學習興趣，更可以培養學生的創新能力。高等數學的學習，不僅是掌握數學知識，重要的是讓學生真正掌握數學思想，數學思維，以及數學素養。在分層次教學中有幾點需要注意：首先，在分層次教學中，教師要特別注意給學生創造一個良好的學習氛圍，積極主動地調動學生的學習積極性與主動性，提高學生學習高等數學的興趣。其次，在分層次教學過程中，要注意提高教師自身的教學水平，注重教學方法的使用，教師應注意依據教學大綱及學生的特點，來制定授課方案，必需改變傳統教學中的重理論，輕應用的思想，特別要注意培養學生實際應用能力。第三，分層次教學法加大了教師的工作量，要求教師精心準備每一節課，在教學過程中要注重強化數學知識的直觀性及應用性，以使學生對數學知識有更全面的理解和掌握。
2. 改革教學內容，增加實驗教學內容。
工科高等數學教學所培養出來的學生可能成為未來的科學家和工程師，他們必須具有良好的數學素養和數學基礎。因此，在數學教學中向學生滲透與學生專業有關的工程背景，及數學知識在相關專業的實際應用，對于培養工科學生的實際應用能力和創新能力有著非常重要的作用。改革教學內容，在高等數學課程中增加數學建模課和數學實驗內容。從實際問題出發， 以計算機為輔助工具， 由學生自己動手進行分析、設計、解決問題， 從實驗中去探索和發現數學規律，從而完成了學習的內容。通過實驗課，既能使學生掌握所學的數學知識，又能親自體會其實際應用。
3. 改革教學手段，適當引用現代信息技術手段。
由于高等數學課程的很多內容既抽象又復雜，并且高校中高等數學教學正面臨著學時數逐漸減少而教學內容反而增加的實際困難。所以改革傳統的教學方法和手段，在高等數學教學中適當引入多媒體等先進的信息技術手段，使之既能加大課堂信息量又能加強創造性思維能力的培養，推進高等數學教學方法與手段的改革。是當前工科高等數學教學改革的一個非常值得研究的重要課題。學習高等數學不僅要求學生在理解的基礎上掌握數學知識，更要求學生掌握探索和解決問題的方法。先進的現代信息技術可以在發現問題和提出問題等方面模擬數學問題的活動，有助于學生運用所學數學知識來解決問題，從而提高學生分析和解決問題的能力。教師可以通過先進的現代信息技術手段創設問題教學情境，動態地展現數學問題。
總之，時代的發展、社會的進步，及工科高校高等數學教學中存在的問題使得工科高等數學教學改革勢在必行。高校數學教師要不斷學習，提高自身素質，堅持在教學過程中探索適應時代和社會的發展需求，且符合學生實際的教學方法與手段，提高學生學習數學的興趣，提高學生應用數學解決實際問題的能力，使得工科高等數學的教學適應現代工程科學的發展，這是一個值得長期研究與探索的問題。
參考文獻：
[1]劉玉良、時立文.高校數學課程教學改革存在的問題與對策[J].中國成人教育,2007,7
高等數學實際應用范文第4篇
（1）講授好第一節數學課程至關重要
我們大學生剛剛走進大學校園，還不清楚何為高等數學，并且有大部分學生認為經過十幾年的寒窗苦讀，好不容易考上大學，本可以好好放松放松。這時候講師應該告誡學生千萬不能放松，并向學生強調大學學習在人生的成長過程中的重要性。講師們要在第一節課把如何有效的學習高等數學的方法、以及課程中比較困難的內容和基礎易懂的內容簡單的介紹給學生，從而使學生對高等數學有比較清晰的認識，增強其對掌握好高等數學的自信心。
（2）重視基本概念、基本理論、基本方法
數學的基本概念、基本理論、基本方法是基礎，是解決數學問題的出發點和依據。但是卻有很多剛剛進入大學的大學生在接觸到高等數學時，單純的思考著數學本質上就是解題證明，而看輕對基礎知識的學習，從而他們在遇到實際難題時會覺得頭腦不清晰，方法不合適等困惑，這就要求學生們在大學里改變這一思維習慣。
2注重數學的實際應用，突出數學建模思想，培養學生獨立創新能力
（1）在日常學習中樹立數學建模的意識
高等數學是大學課程的核心課程，而在其教學過程中，多數講師只是已課堂教授為主，課堂模式單一、死板、無新意。高等數學的教學，其最終意圖就是讓學生掌握更多學習數學的方法性和技巧性，培養起學生對數學的應用實踐思想。增強學生用數學探討、分析、表達和處理實際問題的能力，使學生從數學的學習中增強自己的主觀能動性。而數學建模就是從復雜難懂的實際問題出發通過合理假定、抽象，應用所學數學知識對實際問題進行合理的分析、思考和計算，從而得到解決問題的最佳模型及問題最優解的一門學科。因此數學建模的產生為廣大學生建立了一個由理論數學到實際生活中的數學的平臺，是充分發揮學生的數學理論知識與應用創新能力雙豐收的最佳方式。
（2）在日常教學中對學生傳達數學建模思想
當今的高等數學的學習就是要增強學生應用數學的能力，通過高等數學在生活中的實際應用，從而使學生培養起數學建模的思想，體會到數學其實是一種解決生活實際問題的手段。此外，在高等數學的教學中著重體現數學建模的思想，有利于開發學生的應用潛力。據了解，全國許多高校都開設有了"數學建模"選修課，但僅僅作為選修課學習對與增強學生學習能力所起到的作用是非常渺小的，其一數學建模課在解決生活難題與數學問題當中的起著嫁接的作用，對于不同的問題，解決的方法又不盡相同，要做到得心應手簡直難上加難。其二數學建模的教育從本質上來講是一種能力與道德的培養，需要經歷漫長的實踐才能到達所需的高度，僅僅靠學習一門選修課的投入還遠遠達不到要求。所以，為了解決這一問題，最為有效的方法就是在高等數學的日常教學中給學生傳達數學建模的思想，這樣對學生數學能力的培養和邏輯思維的提高才更加有利。
3注重學生未來的持續發展,培養應用型人才
高等數學實際應用范文第5篇
關鍵詞：高等數學；數學模型；教學改革
中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）19-0060-03
一、課程簡述
高等數學是理、工科院校一門重要的基礎學科，也是非數學專業理工科專業學生的必修數學課，也是其它某些專業的必修課。高等數學有著高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性[1]。高等數學在電子計算機、物理、生物學等方面有著廣泛的應用，數學不僅為科技發展提供著有力的支持和強大的動力，同時也滲透到了經濟學、心理學等社會科學的各個領域。通過學習這門課程，學生們能夠獲得包括微積分、向量代數與空間解析幾何等基本理論知識以及常用的解題方法和運算技巧。學好這門可曾，不僅夠培養學生的運算能力，還能夠鍛煉學生的抽象思維、邏輯推理及空間想象能力，是學生不僅學會分析問題，還能夠學會如何正確有效地解決問題，為不同專業的學生學習本專業的后繼課程奠定必要的數學基礎。因此，熟練掌握高等數學的基本理論和技能對學生們來說相當重要。隨著教學方法的改革，學生的聽課雖然質量有所提高，但是由于教師側重于概念、定義的介紹，而忽略定理的證明、計算推導[2]等原因，使得高等數學教學質量還有待提高。
二、高等數學教學過程存在的問題
第一，在教學方法方面：教師主要采用傳統的寫板書的教學方法來給學生講解課程內容。在教學過程中，采用統一的教學時間和上課進度，沒有顧慮到學生是否理解所加工的內容。在對學生進行考察的時候，也僅僅是統一的課程考試，很少考慮學生平時的作業情況和表現，單看學生的考試成績來評價一個學生的好與壞，不能充分的挖掘學生的潛能。課堂講授的內容往往都是數學本身的基礎知識，卻沒有與所教學生的專業相結合，過于注重數學思想和運算技巧訓練，忽視了對學生實際應用能力的培養，這樣很容易埋沒學生的潛在能力，無法很好地達到培養人才的目的。第二，學生素質方面。目前的高等教育隨著近年來高校的大量擴招，已非昔日的精英式教育模式了，而是進入到了大眾化教育階段。高校學生個人素質正在下降，具體體現在學生的數學基礎、接受新知識的能力、自主學習的能力、邏輯思維能力等等，這給高等數學的教學工作增加了難度，使得以往只需簡短講解的知識點需要教師通過大量的習題來讓學生理解接受，重點和難點之處更需耗費大量時間，影響教學進度。第三，考核體系方面。高等數學教學的目的應是注重對學生在數學應用方面的培養，但是傳統考核體系通常只是針對于學生的數學理論和計算技巧的評定，以一張試卷作為評定學生學習好壞、教師工作效果的唯一標準，這樣往往有失偏頗。不僅很好地反映學生的學習情況和教師的教學效果等問題，同時還容易打消教師與學生的教與學的積極性，一味地注重理論和技巧，完全忽略了實際應用。因此，對考核體系進行適當的調整是非常重要的[2，3]。
三、高等數學教學改革的措施
針對上述存在的問題，為了使學生具備更好的數學素養，本文提出了四點對高等數學教學改革的措施。
第一，教學內容要側重在本專業的應用。高等數學課程是高校中很多專業必不可少的基礎課，但專業不同，對學生數學能力的要求也有所不同。因此，要打破高等數學傳統的教學方式，教師在備課前，應充分了解所教學生的專業的具體需求，多與專業教師溝通，進行與專業相結合。一方面，使學生真正掌握本專業應當具備的數學知識，另一方面增加一些與本專業相關的數學模型的講解和訓練，使學生具備一定的解決實際問題的能力，會做事、能做事。可以將高等數學分為兩類人學習兩類，一類是對于專攻數學專業的人士，一類是對于涉及高等數學某個領域的人。第二、充分學生的主體作用。在教學過程中，教師要多多鼓勵學生參與解決問題，正確引導學生充分發揮主體性，使學生能夠發現問題并積極尋找解決辦法。第三，運用靈活多樣的教學手段。數學的理論知識一般都很抽象，這對學生的邏輯思維和抽象思維能力是極大的挑戰。如果使用多媒體課件，將教學內容形象化，學生就會更加容易理解，教學效果會更好。利用多媒體課件，不僅能夠呈現事物的時間順序、空間結構，做得好的課件還能體現事物的運動過程，簡化學生對事物的認知過程。第四，從多方面進行考核。對學生學習效果要采取多種方式來綜合評定，學習情況只是一個方面，更重要的是檢測學生的數學應用能力。如增加對學生數學能力的考察，定期做一些對數學認識的答辯，一些關于數學的競賽。
四、在高等數學教學中引入數學模型的作用和意義
將數學方法應用的實際問題中的最行之有效的辦法就是通過建立數學模型，把實際問題的內在規律用數字、圖表或者公式、符號表示出來，利用數學的手段進行分析解決，得到定量的結果，最后再通過所得結果分析實際問題。在高等數學教學中引入數學模型有以下三點作用：
第一，加深了專業知識的學習和了解。將高等數學與相關的專業相結合，比如除了基礎部分如一元函數的微積分等是必須要掌握的基本理論，對于機械類專業的學生，還應掌握常微分方程、多元函數的微積分學、傅氏級數與積分變換等內容；計算機專業的學生還應熟練掌握向量代數、空間解析幾何等重要的高等數學的知識。同時還應將所學的數學知識與具體的數學模型相結合，使學生們更易理解學校中遇到的一些概念，避免死記硬背。例如，在“河水污染”模型中，應用高等數學中學習的差分方程，將“河水污染”這么有趣的問題同差分方程結合起來，使學生對枯燥的理論感興趣。“河水污染”問題看似是和數學毫無關系的問題，就這樣通過數學建模的手段轉化為一個簡單的數學問題。但是被當堂所講的知識輕而易舉地解決了。相信學生們肯定對數學有了一個全新的認識。第二，培養了學生的數學建模能力。在高等數學教學中引入數學模型，一方面要在數學教學過程中幫助學生理解數學公式和定義，將抽象的概念實例化。另一方面，要讓學生能自主思考，分析問題并尋找解決問題的方法，自行運用建模的方法解決實際問題。在建立和解決數學模型的過程中，不斷培養學生的分析、推理和計算的能力，培養和發展學生的實際應用能力，使學生更好地運用數學手段解決實際問題。第三，改進了傳統的教學體系。在教學內容的選取上，通過引進實例，以數學建模的思想分析導入，加強了數學應用針對性的教學；增加了數學軟件的教學，開設了數學實驗；普遍采取實例教學和課堂討論，豐富了數學教學的形式和方法。改變過去單一的理論教學模式，極大地激發了學生對數學課程的學習興趣，提高了學生的學習效率[4]。第四，鍛煉了教師隊伍，提高了青年教師的業務能力。要在高等數學教學中引入數學模型，這就要求教師具有多方面的知識。在過去，一個教師只要專業知識強就可以了，所以，對教師培養這方面并不是很重視，對于教師關于其他專業的知識的培養幾乎沒有，導致教師的水平受限。教師只有知道數學建模方面的知識才能將現實應用與具體理論相結合，才能更好的將學生教好。
五、結束語
針對高等數學教學過程中存在的問題，本文給出了將數學模型引入到高等數學教學中的幾點作用和相應的意義。盡管將數學模型引入到高等數學教學中能有助于提高學生的學習能力，培養學生對數學這門理論居多的學科的興趣。但是要逐步提高數學系學生的解題能力和綜合數學素養，單靠教師把課講好是遠遠不夠的。學生們應該花費一些時間努力學習，不斷探索數學，同時又對老師提出更高的要求，使教學方法和手段更適合當代的大學生。我們應該認識到高等數學課程教學改革是一項長期而系統的工程，不能一蹴而就，需要在教學內容，教學方法，教學手段，教材編寫等方面不斷進行探索，最終經過不斷嘗試找到一條真正符合學生學習特點，培養學生數學能力的改革之路。
參考文獻：
[1]趙世玉.對高等數學中數學結構及數學理解的分析[J].黑龍江科技信息，2002，（16）.
[2]閔嘯.高等數學教學中數學模型案例運用初探[J].嘉興學院學報，2002，S1（14）：211-213.
