系統動力學論文
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系統動力學論文范文第1篇
供應鏈是一個由多個節點企業組成的動態系統，它包含了不同節點企業之間持續不斷的信息流、物流和資金流。這些節點企業之間相互作用和影響，使得供應鏈系統變得非常復雜。供應鏈運作希望能夠藉由這些相互作用實現更低的成本、更短的生產時間、更小的庫存、更多的產品品類、更好的產品質量、更準確的送貨時間、更高的顧客水平和更有效的合作。這就需要一種更有效的建模技術來表達供應鏈中跨組織的復雜關系。特別地，供應鏈系統各節點企業間的交互存在著諸多隨時間不斷變化的非線性關系，對于這種復雜的非線性系統，一些傳統方法不能夠很好地對其進行描述和研究。而系統動力學研究系統如何隨著時間而動態地改變，講究根據所研究的問題和所研究的系統構建模型，分析變量之間的相互關系，從而確定其對系統的影響。不僅如此，系統動力學仿真更提供了一種分析系統的直觀方式[1]。系統動力學是一種有效地分析供應鏈結構和行為的方法。在所有的研究方法中，系統動力學是研究復雜和多變量非線性系統隨時間變化情況的理想方法[2]。
實際上畢業論文ppt，在理論研究領域，系統動力學研究方法最先由麻省理工學院的Forrester教授于1961年在其《工業動力學》中提出。Forrester[3]最先觀察到了結構、策略和供應鏈節點企業之間的相互影響使得需求沿著供應鏈下游向上游逐漸放大，并提出了系統的分析方法。Sterman[4]最先將這種方法應用于供應鏈系統，并建立了簡單的供應鏈節點企業的系統動力學模型。Ovalle O.R.[5]完善了這一供應鏈節點企業模型，分析了共享不同信息對供應鏈系統的影響，但并沒有給出完整的供應鏈系統動力學模型。國內學者黃麗珍[6]和張立菠[7]都從不同角度建立了供應鏈的系統動力學模型。本文嘗試從節點企業的系統動力學模型推廣到多級供應鏈的系統動力學模型，并進行仿真研究。
1、供應鏈節點企業系統動力學建模
供應鏈上貫穿了物流、信息流、資金流、決策流和商流等流程，本文的建模重點研究物流和信息流兩種流程。這是因為系統動力學研究方法能夠很直觀地表達供應鏈上的物流和信息流。本文一方面對所研究的供應鏈系統鏈環節進行了簡化，主要討論訂貨、庫存和發貨三個環節論文開題報告范文。另一方面對其決策進行簡化，以牛鞭效應（訂貨量波動比）作為重要的對比指標[6]。供應鏈系統中各節點企業通過訂貨和發貨分別實現與上下游節點企業聯系，從而使得系統的有效地運作。供應鏈節點企業系統動力學模型建立在其因果回路圖和反饋環的基礎上，因此建模前須分析得出其因果回路圖和反饋環。
1.1 供應鏈節點企業運作的因果回路圖（Casual Loop Diagram, CLD）
本文所研究的供應鏈是一種沒有信息共享的運作模式，MIT的啤酒游戲很好地再現了這種供應鏈。在供應鏈的運作過程中，各節點企業最重要的流程是對上游的訂貨流程和對下游的發貨流程。對上游的訂貨決策是建立在對未來的銷售預測和庫存控制策略的基礎之上，即各節點企業根據過往的數據，運用簡單移動平均或指數平滑等方法來預測t期的銷售率，并同時考慮t期初企業的渠道存量和庫存狀況來進行訂貨決策。對下游的發貨決策則是權衡下游的訂貨量和節點企業的最大發貨量來進行的。圖1給出了供應鏈節點企業（用k節點表示）運作過程的因果回路圖，其中包含了九個反饋回路，即兩個正反饋回路和七個負反饋回路。其中第七和第八個回路是正反饋回路，除此之外都是趨于平衡的負反饋回路。
圖1 供應鏈節點企業運作過程的因果回路圖
1.2 供應鏈節點企業的系統動力學模型
根據供應鏈節點企業運作過程的因果
回路圖，可以得到供應鏈節點企業的系統動力學模型，如圖2所示。將供應鏈節點企業的運作流程分為物流和信息流。物流始于進貨（即上游節點的發貨），從而形成渠道存量畢業論文ppt，渠道存量（Pipeline）指的是因為運輸延遲和生產延遲過程中引起的庫存。對于生產商來說，進貨指的是進原材料，渠道存量包括運輸延遲和生產延遲引起的庫存；對于其他節點企業來說，進貨都是成品，渠道存量指的是運輸延遲引起的庫存。收貨后渠道存量減少，同時庫存增加。對于生產商來說，收貨指的是原材料經生產加工后變為成品，進入成品庫存；對于其他節點企業來說，收貨指的是成品到達該節點企業倉庫。對下游的發貨取決于下游節點企業的訂貨和該節點企業的最大發貨率。發貨使得各節點企業的庫存減少。此外，模型還受到其他內外部影響因素的影響，受研究問題所限，在此不多作分析。
系統動力學論文范文第2篇
【關鍵詞】 復烤企業; 人工定額; 系統動力學
中圖分類號：F234.2;C93 文獻標識碼：A 文章編號：1004-5937（2014）34-0029-03
一、前言
人工定額指單個勞動力完成單位產品需要的勞動時間，或者是單位時間內單個勞動力生產的產品數量。對應的表達方式有兩種：時間定額和產量定額。它是用來衡量企業勞動效率的尺度，是合理、科學組織生產勞動的依據及考評工人勞動貢獻的標準。法國的波拉勒特在1760年制定了每分鐘制造494支6號別針的產量定額;美國的查理在1830年確定了11號別針的工時定額;工業工程之父泰勒在1898年通過不斷做實驗、制定勞動定額，形成了科學管理的思想，極大地推動了生產力的發展，在1911年公開發表了論文《管理科學原理》，開創了“時間研究”的先河。
國內外的專家學者對于人工定額已經作了大量的研究和探索。Southern Polytechnic State University的Lawrence S. Aft（1988）將計算機軟件運用在標準工時的制定中。Spec ware Inc（2001）研發的Digital Don是工時管理的專業軟件。Niebel和Freivalds（2004）介紹了一些時間研究的相關軟件。唐俊（2006）通過回歸分析和神經網絡方法，借助復雜度概念計算勞動定額。在同一年，張磊運用MATLAB語言建立標準工時的神經網絡計算模型。白麗杰（2007）借助MODAPTS法制定標準工時。董巧英、闡樹林等（2009）采用基元分解的方法制定人工定額，并將其運用在實際企業中。呂凌楠（2011）將定額理論運用到電網企業的大修成本管理中，強化了大修成本的全過程管控。
綜觀相關文獻可以發現，國內外對于人工定額的研究已有一定的深度和廣度，分別運用數學模型或統計方法來確定人工定額。這些方法在一定程度上促進了人工定額的發展，但是對模型參數求解過程復雜，效率較低。本文將系統動力學理論引入到定額的制定中，運用現代計算機高效的運算性能，通過Vensim軟件對人工定額問題進行建模并仿真模擬，研究結果在復烤企業的實際運營中收到了良好的效果，提高了生產率，降低了成本。
二、復烤企業的人工定額系統動力學分析
（一）復烤企業生產作業鏈
復烤企業涉及六個環節，分別是原煙倉儲環節、煙葉挑選環節、復烤加工環節、成品片煙倉儲環節、采購環節及職能管理環節，其生產作業鏈如圖1所示。
原煙倉儲環節是指原煙在運送至復烤廠之后，挑選復烤之前所經歷的時間段，該環節不僅可以使煙葉自然醇化改善其品質，還可以減緩煙葉的供需矛盾，在復烤廠整個生產作業流程中起著至關重要的作用。煙葉是農副產品，質量參差不齊，依國家對煙葉等級質量標準的規定，在其打葉復烤之前要進行分級與挑選，只有通過挑選加工才能進一步提高煙葉的純度和使用價值，滿足卷煙生產配方的需要，保證成品片煙的質量。初烤煙經過復烤加工，進行第二次煙葉水分調整，成為卷煙生產的真正原料。在煙葉復烤加工、預壓打包之后是成品片煙的倉儲，該環節的作用和原煙倉儲環節的作用類似，既可再次自然醇化，進一步改善其品質，也可調節生產與銷售之間存在的時間差。
（二）復烤企業的人工定額系統動力學流圖
復烤企業的生產系統中涉及多個變量，各變量之間存在著非線性的內在邏輯關系，其系統動力學流圖如圖2所示。
從系統觀的角度出發，將生產和銷售聯系起來，設立人工定額變量，它將滿足生產需要的人工和滿足銷售需要的人工結合起來，在數值上等于生產和銷售兩方面對勞動力要求之和。銷售人工定額等于成品片煙出庫量/人工勞動生產率;生產人工定額即滿足庫存需要的勞動力，在數值上等于（期望庫存-成品片煙倉儲）/人工勞動生產率×庫存調整時間。這樣建立系統動力學模型將生產與銷售聯系在一起，相互影響，相互制約。模型中的變量關系如圖3、圖4和圖5所示。
（三）復烤企業的人工定額系統動力學模型
某復烤有限責任公司近三年成品片煙產量平均值為4萬噸/年，生產周期為0.5個月，公司現有職工1 800人，從有新進勞動力需求到培訓達到工作要求標準的勞動力調節時間為0.5個月，庫存調整時間為1個月，人工勞動生產率為5噸/月。根據該復烤企業的實際情況，構建人工定額的系統動力學模型，研究在現行市場情況及公司生產能力下的公司人員定額，用以檢驗目前公司的人員配備是否合理，模型中各變量的數學模型如表1所示。
三、人工定額的系統動力學模型模擬與結果分析
將各變量的數學模型及參數代入到系統動力學模型中，運用計算機Vensim軟件進行模擬仿真，得到模擬結果如圖6所示。
圖6為成品片煙倉儲及其影響因素模擬結果，圖形橫軸為模擬時間，單位為月;縱軸分別為影響成品片煙的成品片煙出庫量及成品片煙產量，單位為噸。成品片煙的出庫量在第一個月的月底從1 000噸開始逐漸增加，為滿足市場需求，成品片煙產量隨之上升。初期，成品片煙產量的增加速率小于成品片煙出庫量的增加速率，因此庫存下降，但隨著成品片煙產量的增加，成品片煙產量的增加速率大于成品片煙出庫量的增加速率，庫存增加。經過5個月的系統內部調整，成品片煙產量和出庫量趨于平穩，分別為4 800噸和4 000噸，此時庫存穩定在800噸。相對應的人工消耗狀況如圖7和圖8所示。
圖7和圖8為人工定額及其影響因素模擬結果，橫軸為模擬時間，單位為月;縱軸為影響人工定額的銷售人工和生產人工以及人工定額本身，單位為個。模擬結果顯示，當市場需求發生變化時，成品片煙的出庫量和產量都隨之發生變化，因此，企業滿足出庫和入庫所需的人工也需做相應的調整。當成品片煙的出庫量和產量分別達到穩定值4 800噸和4 000噸時，即庫存為800噸時，所需的人工定額為1 500人。該模擬結果顯示，本復烤企業現有職工過多，存在著人力資源的浪費，需裁員到1 500人。
四、小結
1.國內繞定額管理已經作了大量的研究，取得了豐碩的成果，隨著社會經濟及科技的發展，以及企業的需要，將定額研究與現代計算機模擬技術相結合起來顯得十分重要。本文運用系統動力學理論，確定復烤企業的人工定額。
2.系統動力學模型基于“系統觀”和“發展觀”的視角，將定量分析與定性分析相結合，考慮目標系統內各變量之間的邏輯關系，結合系統動力學的特點研究定額管理，可操作性強。
3.本文以某復烤企業為例，建立復烤企業人工定額的系統動力學模型，選擇模型中各變量的數學模型及參數，借助Vensim軟件進行仿真模擬，確定復烤企業的人工定額，提高了人力資源的利用率，降低了成本，成功地實現了系統動力學理論在定額確定中的應用。
【參考文獻】
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系統動力學論文范文第3篇
關鍵詞：布魯氏菌病；傳染病模型；基本再生數；局部穩定性；全局穩定性
中圖分類號：O157 文獻標識碼：A 文章編號：0439-8114（2015）24-6324-04
DOI：10.14088/ki.issn0439-8114.2015.24.059
Abstract： According to the characteristics of Brucellosis，a dynamic model with Brucella in environment was established. In this model，the animal population was divided into susceptible，latent，infected. Human was divided into high-risk group and low-risk group；Susceptible individuals can contract the disease in two ways： infected animals and Brucella in environment. The basic reproductive number was calculated theoretically， the local stability of each equilibrium point was analyzed， then through the limit system and constructing appropriate Lyapunov functions to prove that the disease-free equilibrium and the unique positive equilibrium was globally asymptotically stable.
Key words：Brucellosis；epidemiological model；basic reproduction number；local stability；global stability
布魯氏菌病，是由布魯氏菌（Brucella）以及相同菌屬所引起的人畜共患傳染病，其主要侵害生殖系統而引起流產、不孕、炎等[1]。布魯氏菌病通常是由牛布魯氏流產桿菌、小型反芻動物布魯氏菌病波狀熱、綿羊布魯氏菌、豬布氏桿菌以及犬種布魯氏菌所引起的[2]。布魯氏菌病不僅會造成嚴重的經濟損失，而且還會感染人體對人造成的傷害。2012年中國31個省市報道有布魯氏菌病患者，全國共有患者39 515人，無論人數還是發病范圍都達到近些年的高峰，其中內蒙古、黑龍江、山西、河北等我國最主要的牧區患病人數最多，但目前尚未見人與人水平傳染的報道[3]。
傳染病數學模型的理論研究涉及常微分方程組、時滯微分方程組、偏微分方程組、一隨機微分方程等方面[4]。A？fnseba等[5]建立了具有易感者、染病者、環境中布魯氏菌（SIC）的羊群布魯氏菌病動力學模型，模型考慮了直接接觸傳染和環境中布魯氏菌的間接傳染。聶靜等[6，7]根據奶牛布魯氏菌病的傳播特征及其規律建立了具有潛伏期和間接傳染的SEIV模型，從理論上求出了系統的基本再生數，分析了各平衡點的穩定性。李明濤等[8]根據布魯氏菌病具有年齡特征，建立了具有階段結構的羊群布魯氏菌病動力學模型，證明了平衡點的全局漸近穩定性。
1 模型的建立
羊、牛、豬是中國最主要的家畜，需求量龐大，這3種家畜的主要養殖地又是中國布魯氏菌病的主要疫區，存在大量的相互調入。布魯氏菌病的傳播速率很快，而人和家畜對其都易感，因此對于患病動物必須及時撲殺。布魯氏菌對外界的理化因素具有一定的抵抗力，可以生存較長的時間。此外，布魯氏菌可侵入呼吸、消化、生殖系統黏膜以及損傷甚至未損傷完整皮膚等[1，9]。人患病與職業有十分密切的關系，并且農村發病率遠遠高于城市，所以將人群分為高危人群和低危人群。不同動物以及不同規模農場存在差異，動物之間和動物與人之間的接觸存在差異，因此它們之間的接觸與總的群體數量形成一定的比例關系。
3 小結與討論
本研究主要根據布魯氏菌病本身的特點及其傳播特性，建立了具有外界輸入，潛伏期和環境中病菌傳染項的人畜動力學模型，通過基本再生數R0的表達形式可以看出，動物和病菌是布魯氏菌病的傳染源貢獻度，定理1證明了R01時正平衡點是全局穩定的，患病者數量最終趨于穩定的正值，也就是形成地方病。系統的無病平衡點和正平衡點都是全局漸近穩定的，環境中的布魯氏菌也是布魯氏菌病傳播的一個重要因素，在實際中應該采取控制引入量，及時有效地殺菌和患病動物捕殺相結合的方式才能使疾病得到有效控制。
參考文獻：
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系統動力學論文范文第4篇
論文關鍵詞：供水管網，三鹵甲烷，EPANET水質模型
水經氯消毒進入供水管網后與水中有機前驅物質發生反應生成消毒副產物[1]。三鹵甲烷(THM)是飲用水中含量最大的消毒副產物，具有致癌、致畸作用，會引起肝、腎等器官的病變。許多供水行業學者對三鹵甲烷的生成規律進行了研究，試圖建立THM生成模型，以便于對供水管網中的THM含量進行預測。本文介紹了供水管網THM動力學模型的建立原理，首次應用EPANET建立真實供水管網三鹵甲烷(THM)的生成模型，并對該水質模型進行驗證，得到整個供水管網各點三鹵甲烷濃度的水質模型。
1 給水管網THM動力學模型
當氯氣加到水中數學建模論文，它與水中天然有機物(NOM)發生反應生成三鹵甲烷以及其他消毒副產物，飲用水氯化消毒生成三鹵甲烷反應可以寫成：
Cl2+P→THM(1-1)
式中P――表示三鹵甲烷形成的前驅物質。
根據質量作用定律，THM生成的速率表達式為：
(1-2)
式中[Cl2]――水中余氯的濃度；
[C]――形成三鹵甲烷的前驅物質濃度；
n――相對于氯的反應級數；
m――相對于前驅物質的級數；
k――THM生成的速率常數cssci期刊目錄。
據文獻報道[2]：三鹵甲烷的形成相對于氯和前驅物都是一級n=1、m=1，總的反應級數是二級。
THM生成潛能(THMFP)是在一定的加氯量下，在足夠的反應時間內原水體中的天然有機物與氯反應生成THM的能力[1]，將THMFP代入(1-2)，可得：
(1-3)
式中t――反應時間(h)；
K――反應速率常數(L/mgh)；
[THMFP]――THM的界限濃度(μg/L)。
在配水管網中，當t=0時，[THM]= [THM0]，式(1-3)積分得：
(1-4)
2 EPANET給水管網THM生成模型
EPANET跟蹤供水系統THM的增長，通過管道內部(主流區)和管壁處兩個區域反應來處理的[3]。在主流區，自由氯(HOCL)與水中天然有機物(NOM)反應；在管壁處，氯與附著在管壁上的藻類等其它前體物質發生反應，存在管壁生長環作用[2]。
2.1 主流區反應
EPANET模擬具有n級反應動力學的主流區水體反應，其中反應的瞬時速率依賴于濃度，同時也考慮到THM極端增長中存在著極限濃度反應數學建模論文，THM屬于一級飽和增長反應動力學模型，n=1，Kb＞0，[THMFP]＞0，即
R=Kb ([THMFP]-[THM]) [THM] (n-1) = Kb ([THMFP]-[THM]) (2-1)
式中R――濃度反應的瞬時速率(μg/L/d)；
Kb――主流區反應速率系數(d-1)；
n――反應級數；
[THMFP]――THM的界限濃度(μg/L)；
[THM]――THM的濃度(μg/L)。
主流區的反應系數Kb常常隨著溫度的增加而增加，取決于原水的水質，可通過棕色玻璃瓶中的水樣靜置來估計，分析瓶中三鹵甲烷濃度與時間的關系。對于屬于一級飽和增長反應的THM，自然對數([THMFP]-[THM0]) / ([THMFP]-[THM t])與時間t的曲線為一條直線，其中[THMFP]為THM的界限濃度，[THM t]為t時刻THM的濃度，[THM0]為零時刻THM的濃度，于是Kb由該直線的斜率來估計。
2. 2 管壁處反應
靠近管壁處的水質反應速率，可認為取決于主流區的濃度，THM管壁反應級數n= 1，即采用以下公式[3]：
R = (A/V) Kw C n= (A/V) Kw C(2-2)
式中 Kw――管壁反應速率系數；
(A/V)――管道內單位容積的表面積。
管壁反應系數Kw取決于溫度數學建模論文，與管齡和管材相關，由模擬人員設置。
3 管網THM生成模型的應用與驗證
3.1 實例簡介
本研究所用的是橫山橋鎮配水管網，橫山橋鎮用水由西石橋水廠供給，輸水管線長達17km，在橫山橋進行二次增壓并二次加氯，通過兩條輸水管線供給全鎮（自來水普及率100%），管徑為100～600mm，節點數248，管段數261。管網除鎮區為環狀外，周邊農村均為枝狀。在此供水管網中設置了7個水質調查點，分別位于供水干管和管網末梢(見圖1)。
圖1 實際管網水流方向及7個水質監測調查點
Fig.1 The actual flowdirection of pipe network and 7 water quality monitoring sites
注：1. 增壓站；2. 橫山家苑；3. 營業所；4.加油站；5.曹巷村；6. 龍塘村；7. 謝家村cssci期刊目錄。
3.2模型建立與驗證
3.2.1模型建立
在EPANET模型中選擇模擬周期為96h，水力步長為30min，水質步長為5min，每5min輸出一組水質數據。通過對比模型計算結果和管網實測數據，調整模型輸入數據，使模型計算誤差達到最小數學建模論文，模型校核后輸入初始參數見表1及THM時變曲線圖2。局部管網的THM水質模型結果見圖3。
表1 THM模型的輸入數據
Tab. 1 Input data in THM model
THM平均
濃度/μg/L
主流區的反應系數
Kb/ d-1
管壁反應系數
Kw/m/d
16.2
系統動力學論文范文第5篇
關鍵詞：齒輪傳動系統振動特性
中圖分類號：U223.5+13文獻標識碼：A
1齒輪傳動振動國內外研究概況
研究表明：機械的振動和噪聲，其中大部分來自齒輪傳動工作時產生的振動，因此機械傳動中對齒輪動態性能的要求就更為突出。要滿足這一要求，人們開始把越來越多的注意力轉向齒輪傳動的動態性能研究。具體地說，就是研究齒輪傳動系統的動載荷、振動和噪聲的機理、計算和控制。就需要從振動角度來分析齒輪傳動裝置的運轉情況，并按動態性能最佳的目標進行設計。
為了解決上述問題，以研究齒輪傳動和噪聲特性為主要內容的齒輪動力學十多年來得到了較廣泛的重視和研究，日本機械工程學會1986年對齒輪實際調查與研究表明，評價齒輪高性能化的前兩項分別為低噪聲和低振動。1992年在美國機械工程協會主辦的第六屆機械傳動國際學術會議(6th Intenational Power Transmission and Geartng Conference)上，齒輪動力學研究得到了普遍的重視，宣讀論文占總數的21％，列數的第一位，突出表明了齒輪傳動向高速、重載方向發展后，其動力學研究的緊迫性。我國于1984年成立了機械工程學機械傳動分會齒輪動力學會組，并成功地舉行了三次全國齒輪動力學學術會議，促進了我國學者在這一領域內的發展。
對于齒輪輪齒的誤差激勵，早在1958年，Harris就認為它是引起齒輪振動的三種主要內部激勵之一。七十年代許多學者（W.D.Mark，A.W.Lee，D.B.Welbowrn等）研究過傳遞誤差的統計性質及其對齒輪振動和噪聲的影響。其中T.Tobe研究過齒輪動載荷的統計特性，首先建立了直齒輪系統的非線性Fokker-Planck方程，并由此推出了矩方程，然后用統計線性化方法求解，從而得到響應的前二階矩。在分析中，他們把靜傳遞誤差分解為確定性分量和隨機分量，并將隨機分量表示成“經濾波的白噪聲”。1985年，A.S.Kumar等分析了直齒輪動載系數的統計特性，隨機輸入是傳遞誤差，處理成經時不變的成形濾波器濾波的高斯白噪聲。推出了等效離散時間狀態方程和均值，方差波動方程，以確定嚙合位置隨機誤差幅值和運轉速度等對動載系數均值和方差的影響。
2齒輪傳動動態特性研究現狀
齒輪傳動動態特性的研究大體上可分為兩大部分：齒輪傳動系統振動特性的研究和齒輪結構振動的研究。
2.1齒輪傳動系統振動特性的研究
齒輪傳動系統振動的主要激勵為隨時間變化的嚙合剛度、齒輪誤差和不穩定載荷，它是一個參數自激振動系統，齒輪傳動的振動包括徑向、周向和軸向的振動。關于直齒輪剛度計算已有比較成熟的Weber―Banaschek公式。由于斜齒輪接觸線沿齒寬是傾斜的，因此在計算斜齒輪嚙合剛度時，首先需要研究斜齒輪的載荷分布及輪齒變形。受計算手段的限制，早期的研究是把斜齒輪輪齒假設成由大量獨立的法向薄片所組成(即“薄片”理論)，各薄片的變形是獨立的。建立在這種模型下的斜齒輪載荷分布計算，忽略了各片之間的相互影響，進一步的研究是將斜齒簡化成一剛性或彈性夾持的懸臂扳。由于懸臂扳幾何形狀與輪齒相差較大，因此所得結論很少校用來研究載荷分布，大多以此研究由載荷引起的變形及齒根彎矩。Monch和Roy用凍結法對環氧樹脂齒輪的載荷分布做了光彈性實驗。Conry和Seireg用線性規劃技術計算了斜齒輪接觸線上的載荷分布，其輪齒變形被分成彎曲變形，接觸變形、支承變形等，用材料力學和赫茲變形公式計算各變形分量。Mathis和Simon用三維有限元研究了斜齒輪的載荷分布和變形。Nicmann和BhthBe及Nicmann和winter是將接觸線的總長度變化用來估計齒輪的剛度波動。著名齒輪動力學專家、日本東京工業大學Umezawa用齒輪的有限差分模型對斜齒輪沿接觸線的裁荷分布等作了理論分析后，對一對有限齒寬齒輪的載荷分布和嚙合剛度特性進行了一系列的研究，并根據齒輪端面重合度εα和軸面重合度εg的大小判斷齒輪嚙合剛度波動的幅值(即計算振動幅)大小[8][9]。由于Umezawa是通過一等效懸臂梁的有限差分模型總結出的斜齒變形公式，因而他的研究尚無法考慮齒輪結構尺寸的影響。
Umezawa通過實驗和仿真計算研究認為在相同誤差情況下，端面重合度εα和軸面重合度εg相同的齒輪副的振動水平是一樣的。在國內，齒輪系統動態方程求解的方法主要有狀態空間法、復富氏系數法和富氏級數(Fourier serics)法。這些方法都不同程度地簡化了齒輪傳動系統振動特性的求解，保留了系統的參變和整體特性。為了設計出具有良好動態降性和低噪聲齒輪傳動系統，近年來人們對影響齒輪傳動系統動態特性的因素做了不少理論計算和實驗研究。采用柔性輻板齒輪結構是降低齒輪傳動噪聲，提高齒輪傳動乎穩性的又一主要措施，Berestnev的實驗研究表明，通過改變輪體結構尺寸，可使齒輪的彎曲、接觸疲勞強度增加1．2～1．4倍，壽命增加1．5～2倍，振動噪聲減小6～8dB。國內對鋼輪轂、橡膠輪輻的柔性幅板齒輪系統的降噪特性進行了實驗研究，結果表明在模數較大的場合，其降噪效果在7dB左右，減振效果為50％，高頻噪聲可下降6～18dB。
2.2 齒輪結構振動的研究
齒輪結構固有頻率及振型、動態響應和動應力的研究是建立在一般結構振動計算方法基礎上的。為了避免共振，防止顫振，或者是研究其響應問題，一般都要求先計算結構的模態，目前在計算結構動力學問題中雖為有效的數值方法是有限單元法。
然而，隨著結構日益復雜化、大型化的發展，使人們不得不將眼光放在各種節省計算內存的求解方法上。這些促進了各種降階技術和動態子結構技術的興起和發展。如果將求解靜力問題的波前法用于子空間迭代法中，就能使一般工程結構問題可以在微機上求解。由于在國內外曾發生多起齒輪輪體的共振導致的破壞事故，所以齒輪輪體固有振動特性的研究得到國內外的普通關注。這在對齒輪傳動安全運行要求很高的航空工業來說尤其重要。美國波音費托爾公司(Boeing Vetrol)就是用有限元法來預測齒輪結構的共振頻率。國內外對盤形圓錐齒輪結構固有振動特性進行了大量的理論和實驗研究，取得了一批非常有價值的結論。Oda用Miller公式計算了具有不同福板支承形式的薄輪緣直齒輪結構的固有頻率，研究了其傳動系統的振動加速度。國內外的理論和實驗研究表明，齒輪結構的行波共振會造成齒輪的成塊斷裂。
參考文獻：
[1]陳予恕．非線性振動．天津:天津科技出版社,1983,251
