小數乘法教學反思

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小數乘法教學反思范文第1篇

關鍵詞：知識遷移；能力飛越；教學反思

中圖分類號：G427 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）21-066-2

【引言】

本學期我執教五年級數學，作為一個剛從事數學教學的年輕教師來說，我不敢絲毫懈怠，所以利用暑期時間，我將本冊教材進行了解，做到心中有數。當接觸“小數乘法”這一章節時，我在心中便有了一個大膽的想法：整數乘法學生在四年級已經學過，而小數乘法的算理也如出一轍，根據知識遷移的原理，教學時何不讓學生自己去探索解決呢？所謂“遷移”，最主要的一點是要找準新舊知識間的“連接點”，以達到新舊知識的順利過渡，降低學習的難度。

一、立足學生已有經驗，設置問題情境，為促進遷移奠基

小數乘法實則按照整數乘法的算理來進行計算，最后再按照積的變化規律點上小數點。而整數乘法相關的知識，學生們并不陌生，所以，課的一開始，我便讓學生列式計算24*15=（360）。一生到黑板上板演，其余獨立完成，再集體訂正并回顧整數乘法的算理。緊接著，我說：“不計算，知道240*15=（ ）？”學生們馬上一口報出得數3600！又問：“你們是怎么知道的呢？”生：“積的變化規律！”引導出自己想要的答案，我也興奮起來：“誰能具體說說積的變化規律呢？”頓時，班里像炸開了鍋一般，大伙都爭先恐后的發言，我很欣慰，因為這樣的復習已經開了一個好頭，打鐵趁熱：“積的變化規律真管用，那么2.4*15=（ ）？”生：“一個因數不變，另一個因數縮小10倍，積也要縮小10倍，得36?！?/p>

【反思】

遷移依賴的是知識間的共同因素，教學新課時通過復習鋪墊，挖掘出新舊知識的共同點，導出新知識，再運用舊知識學習新知識。

學生認知結構中已有學習內容既是以前學習的結果，又將成為以后學習的聯系點，因此，在講新知識之前對已學內容進行復習鞏固，可為發生“正遷移”打好基礎，自然地過渡到新課，這樣就分散了難點，突出了重點，便于新知的掌握。這正好符合論語的名言：溫故而知新，可以為師矣。因此，對已學知識進行適當的整理，在其中掌握適當的方法，對新知識的掌握有事半功倍的效果。

二、通過知識間的聯系，鍛煉數學思維，讓學生由此及彼

緊接著，我并沒有按書中的步驟教學例1，而是直接教學例2：0.72*5= .題目一出示，我并沒有強調要求如何計算，而是讓他們小組進行討論，互相交流計算方法。很顯然，由于之前的復習喚醒了學生關于整數乘法的記憶，學生很快便想到可以先計算72*5=360，再縮小到它的1/100，得3.60。根據小數的基本性質，去掉小數末尾的0，小數的大小不變，最終得3.6。對于他們的理解，我給予了肯定的鼓勵：“你們真厲害，都能根據整數乘法的方法來計算小數乘法啦！”由于抓住了問題的核心，我便開始帶領學生一起觀察該題的豎式板書，并進一步理解、梳理小數乘法的算理。

【反思】

知識遷移的實質是基本概念和基本規律的遷移，也就是原有知識結構對新的學習內容的影響。小學數學內容是一個前后有序，又不斷發展的整體。從學生的認識規律看，知識的形成和掌握也往往在舊知識的基礎上引出新知識，并使新知識相互溝通，從而達到促進遷移，發展智力，形成能力的作用。

小學生有極大的智慧潛力，只要教師及時引導，小學生的潛能同樣可以充分發揮。都知道，“教”的目的，最終是為了“不教”。教師對知識的“重組”“轉換”“轉移”，不但可使學生把新舊知識聯系起來，而且可以增強學生的智慧潛力，鍛煉他們的思維。

就本節課而言，這樣使小數乘法的算理在學生原有認識結構中“落腳”，使乘法計算得到擴展深化，形成新概念。

三、通過新舊知識的對比，突出教學重難點，順利實現正遷移

教學中，對于小數乘一位整數的計算，學生們掌握較好，但計算2.3*12，諸如此類的多位數時，列豎式時出現了每一步都帶小數點，最終導致錯誤的結果。學生貌似理解了小數乘法的算理，實則不然。所以我便因勢利導，來個將錯就錯，就以此題為例，再一次引導學生分析這題的算理：將2.3擴大到它的10倍為23，再按23*12來計算，并適時提問：“既然是按照整數來計算的，那么列豎式過程中需要點小數點嗎？”（經過這么一點撥，學生頓悟）直到最后算出積后再點上小數點。

積的小數點的確定既是本章的教學重點，又是一個難點。在實際作業操作中，有的學生按積的變化規律來確定，也可以直接數因數中一共有幾位小數，再從積的右邊起數出幾位，再點上小數點。對于后者，關鍵在于適當弱化積的計算過程，突出尋找積的小數位數與因數的小數位數的關系，以保證學生思維的高效性，也避免計算枯燥無味的感覺。

到這里，新知識的學習便告一段落了。我提問：“小數乘法與整數乘法究竟有什么相同與不同之處呢？”這一問題無疑是對小數乘法與整數乘法的總結性對比，找準二者的“連接點”，以及辨析新知的不同之處，達到再次鞏固教學重難點的效果。

【反思】

心理學研究表明：對比可抗干擾，加強對易混知識的比較，有利于排除干擾，加深對某些相關概念的認識和理解，使易混知識在學生頭腦中徹底分化。就本節課而言，當學生能很好地找出小數乘法與整數乘法的異同時，那么我所設定的教學目標也基本達成了，學生也順利實現了新知識的正遷移。

四、分層分類的練習，鞏固內化知識，促進能力的提高

一種數學知識的習得還必須經過大量的練習來鞏固。而“算”更應該在本章的教學中得到很好地貫穿。

雖然，之前學生大多能掌握“算理”，說起算理也是頭頭是道，但在具體的作業過程中，又讓我看到了“百花齊放”式的錯誤。面對這些錯誤，我反而要感謝它們適時的出現。因為學生對一種新知識的掌握正是需要經過懵懂出錯糾正練習熟練掌握這一系列過程的碰撞和磨合。因而，從學生的錯誤中，我得到了很多關于重點知識與難點知識的反饋，這樣可以讓我有針對性地進行診治，并達到鞏固強化的效果，順利實現知識的內化。例如：

第一，突出積變化的規律。 在教材中積變化的規律是新知，在教學中我卻將它當做復習，引導學生充分理解一個因數不變，另一個因數擴大（縮?。┒嗌伲e就會擴大（縮?。┒嗌?。并引導學生直接運用這一規律計算出例2中的0.72*5，感受規律的正確性。

第二，突出豎式書寫的格式。 如計算1.35*1.2時，出現了將小數點對齊來計算。導致小數乘法的對位與小數加減法的對位相混淆，這時抓住小數點為什么不對齊來引導思考：我們已將1.35擴大100倍得135，1.2擴大10倍得12，計算的是135*12，所以應根據整數乘法的計算方法計算，最后還得將積縮小到它的1/1000。同樣，對于豎式過程中點小數點，也可以從算理的角度去解決。

第三，突出小數位數的變化。 小數位數的變化是本節課的一個難點，按照整數乘法的方法去計算，最后根據積變化的規律或者數因數的小數位數來確定積的小數位數，這樣學生掌握較好。但不計算來直接判斷積的小數位數時，就不能完全按照數因數位數的方法來判斷，諸如7.35*1.6，像這樣最后一位乘得的積為整十數時，再根據小數的基本性質，省略末尾的0，便不能判斷積為三位小數。最終通過計算，讓學生意識到并不是積的小數位數和因數的小數位數都是一樣的。

小數乘法教學反思范文第2篇

《小數乘法的意義》一課是義務教育新課標教材中四年級的教學內容，它是在整數乘法意義的基礎上的進一步擴展，其教學目標是引導學生通過具體情境和實際操作，了解小數乘法的意義，并能結合意義計算簡單的小數乘整數的得數。教材在編排上注意體現新的教學理念，設計了豐富的生活背景素材，為學生主動從事觀察、提問、計算、合作、交流等數學活動，提供了大量的信息，滿足了學生多樣化的學習需求，同時也讓學生感受到數學知識與日常生活的密切聯系。教師在教學中要引導學生認真觀察，積極思考，主動提出問題，置學生于開放的情景活動之中，讓其自主探索解決問題的策略，使學生的數學思維能力和創新精神得到培養。

片斷一：創設購物情境，啟發學生提出問題。

師：同學們喜歡逛超市嗎?一起到超市去看看。（出示情境圖）

看到了什么？能提出哪些數學問題？

生1：每根棒棒糖0.20元，3根棒棒糖多少元？

生2：每包餅干1.2元，買4包餅干多少元？

生3：每包方便面0.80元，買2包方便面多少元？

生4：每千克蘋果3.00元，買1.50千克蘋果多少元？。

……

師：這些問題就作為這節課研究的內容。

反思:數學來源于生活。從學生的生活經驗和已有的知識出發，將數學活動與他們的生活、學習實際相連，創設購物的生活情境，引導學生進行觀察、思考，讓他們從生動、具體的背景材料中去發現、去探索與之相關的數學問題，這不僅能夠較好地激發學生的學習興趣和求知欲望，而且能使他們積極主動地參與數學活動，自覺地用數學的思維方式來觀察和解決生活中的實際問題。

片斷二：自主探索、合作交流、建立數學模型

生：獨立思考以上問題、探索研究

師：匯報交流

生1：第一個問題，列式0.2×3，因為每根棒棒糖0.20元，3根棒棒糖就是3個0.2，這和整數乘法意義相同，所以用乘法計算。

師：0.2×3等于多少呢？

生1：我用3個0.2相加，0.2＋0.2＋0.2=0.6元。

生2：我是這樣想的，0.2=2角，2×3角=6（角）=0.6元。

生3：我用的是畫圖的方法：一個正方形代表1元，平均分成10份，每份就是0.1元，每根棒棒糖0.2元，就涂2份，3根就涂6份，也就是0.6元。

生4：從他們的計算結果中，我發現了一個規律，可以直接用整數乘法計算，再看因數中有一位小數，積就有一位小數。

師：厲害！這位同學還發現了計算的規律，這對于今后的學習是很有幫助的。

生5：我選擇的是第四個問題，我想每千克蘋果3.00元，這是蘋果單價，1.5千克是蘋果的數量，根據單價×數量=總價，列式為3×1.5。

師：那么怎樣算出它的得數呢？

生5：1千克蘋果是3元，0.5千克就是1.5元，合起來就是4.5元。

生6：也可以用1.5+1.5+1.5=4.5（元）

生7：先用3×15=45，再看因數中有一位小數，所以積也有一位小數，即4.5元

……

反思:教師重視學生自主探究發現的過程，放手讓學生自由地思考，探究計算方法，對于0.2×3＝0.6，3×1.5＝4.5，同學們利用自己的生活經驗和已有知識，用自己的思維方式，積極主動地去嘗試，不同的學生用不同的想法解決問題，可謂殊途同歸。在探究過程中，由于學生已從他人的思想方法中得到啟發，他們都能利用連加的方法，單位換算成整數計算的方法，以及用幾何模型涂一涂的方法來計算小數乘整數的結果，進一步理解小數乘法的意義。教師能尊重學生的不同想法，并鼓勵學生大膽發現規律，應用規律，只有學生親自經歷探索過程而發現數學知識，才會印象深刻，掌握牢固，運用自如，同時思維的主動性和創造性才能得到充分的發揮，才能體驗到經過努力獲得知識的成功的喜悅。

片斷三：運用新知識，深化理解，拓展延伸

師：（第4頁第2題）說一說這幾道小數乘法算式的意義。

生1：0.3×4表示4個0.3是多少？

生2：5×0.3表示5個0.3是多少？

……

師：誰能說明每幅圖所表示的意思？

生：每個正方形代表“1”，平均分成10份，每份是0.1，平均分成100份，每小格代表0.01。

師：讓學生動手涂一涂，填寫得數）

師：從涂的結果發現了什么？（全班反饋）

師：我們知道了0.01×10＝0.1，0.01×100＝1,那么0.01×1000＝?

生:0.01×100＝1,那么0.01×1000，結果擴大10倍得10。

師：你能計算6×2.5嗎？請在小組內與同學交流你的想法。

生1：2.5＋2.5＋2.5＋2.5＋2.5＋2.5=15

生2：6×2＝12，6×0.5＝3，12＋3＝15

……

師：在我們的生活中到處都有小數乘法，請同學們課后找找這樣的例子，把你找到的結果寫到數學日記里。

反思:教學既要注重過程，也要注重結果，所以必須及時有效地搞好課堂訓練。在這個環節中，我設計了多層次練習，從多種角度訓練學生運用所學知識解決生活中的實際問題的能力。通過實際操作涂一涂，不僅有助于進一步理解小數乘法的意義，同時體現了數和形的結合。鼓勵學生自己在生活中尋找能用小數乘法解決的問題，寫下有意義的數學日記，做到了數學來源于生活，又應用于生活。

小數乘法教學反思范文第3篇

一、具體現象描述

在教授小學數學北師版四年級下冊小數乘除法時，有幾個現象頻繁呈現，亟待解決。

1、小數乘法列豎式的計算中，部分學生對小數點對齊印象深刻，總是不由自主地對齊數位再相乘，導致結果出錯。

2、小數乘法計算中，我們先將小數看成整數計算，最后再數小數位數，可還是有學生出現小數位數數不正確的現象，通常會少數或是漏數；針對末尾有0的計算時，更是容易出現不補0就數位的現象。

3、小數除法時，學生不能順利的移動小數點。將除數變成整數，所有的學生都能做到，然而還有較多的學生總是忘了同等移動被除數的小數點。

5、學生在計算中算錯、看錯的現象屢見不鮮，其中錯例形式多種，花樣百出。

二、錯例成因解析

面對學生的錯誤，筆者通過翻書籍，訪學生，反思課堂教學，同行交流等系列活動，進行了深入研讀與分析，認為錯例成因如下：

1、教師主觀意識過于強烈，總將錯誤歸結于學生的粗心與不認真，而忽略了教師的上課實效性。分析小數乘法的錯例，可以發現：小數乘法是建立在整數乘法的基礎之上的，在此之前，學生已經掌握了整數乘法的列豎式方法，可以利用知識的正遷移作用，教會學生小數乘法的計算方法。在新授之后再進行新舊比較，提醒學生別忘了數一數小數位數，給積添上合適的小數點?；仡欁约旱男抡n教授，就因為將學生的起點立的太高，沒有幫助學生進行新舊知識的溝通，從而落下了如此的"病根"，實屬教之過。

2、過于注重學生計算技能的訓練，忽視計算素質的培養。為何學生在接受計算課時便容易顯現乏味的態度？這里面不缺乏我們教師對計算內容的特殊處理。一般的教師總覺得計算教學不過是會計算、會算對、會應用，因而會花更多的時間在計算技能的練習上，而往往將提高計算素質置于最邊角地位。也正因為教師對計算教學的偏向理解，成就了學生對計算學習的種種消極態度。

3、在教學中重答案，輕習慣養成。分析現今的數學測試，由于計算出錯而導致卷面失分的現象比比皆是，這也是教師最頭疼，最想解決的一個課題?？衫蠋熓欠裣脒^，過于追求答案，學生容易放松了對格式的規范，放松了對書寫的嚴格要求。久而久之，呈現出急躁、敷衍、無所謂的態度，從而對學習造成負面影響。

三、有效策略研討

誠如特級教師王凌所說："今天一個其數學本領僅限于計算的人，幾乎沒有什么可貢獻于當今的社會。因為廉價的計算器就能夠把事情辦得更好。"由此我想：應當把小學的計算學習過程定位為一個發現問題、提出解決問題的猜測、嘗試解決、驗證與修正、形成算法、推廣應用的過程，是一個學生實現再創造與數學化的過程，是培養學生掌握數學學習方法的良好途徑。若從這個角度來重新認識計算教學，可以使我們的計算教學更加接近于計算教學的真諦。

（一）加強小學各階段口算能力的訓練

特級教師邱學華老師有言：計算要過關，必須抓口算。但口算的訓練需要摒棄一貫的機械重復，實現科學化的進程。教學中，宜結合具體的內容采用視算與聽算相結合的方法。其中視算是基本方式，而聽算對學生的要求更高，要求學生記住運算數目，同時進行思維計算，對培養學生的注意力和記憶力有著非常重要的作用。

（二）加強估算與筆算的結合

新課標淡化甚至取消了計算中的部分內容，但卻強化了估算能力的培養。源于估算與生活極其接近，發展好估算能力，可以解決生活中的許多問題?；氐浇虒W實踐中，我們可以利用估算對算式進行結果的預測，以及對結果的合理性進行必要的考察，減少和防止計算中可能出現的錯誤。

教學中我們可以通過逐步培養學生對算式的觀察力、預測力、思維方法、計算技巧等方面入手，組織學生在計算之前，將算式進行細致的觀察，并進行初步的估算。以0.9×1.05為例：1、先估計出積的大致范圍為0.9-1.05；2、估計積的末尾是5；3、積是三位小數；4、實際是計算9×105，再點小數點；5、列豎式的時候應將數位多的放在上面計算。經過如此一番思考與分析，相信學生對計算有了一定的把握。

（三）加強對錯例的分析，找尋源頭實現突破

計算教學中，我們通常會發現形形、多種多樣的錯誤。但善于歸類總結的教師會從中找尋到一定的規律，以此來改進自己的教學方法，防止錯誤的再發生。

1、粗心大意所造成的錯誤

如抄錯題目，看錯數位，將乘法算成了加法，進位的時候忘記加上，最后一步加法不夠細心等等。類似的錯誤，經過教師一提醒后均可發現并及時訂正，出現這樣無意錯誤主要還是由于學生沒有良好的作業習慣。

對策：A：規范學生的作業書寫格式，在新授課伊始便強調書寫步驟，每日堅持，不厭其煩地提醒指導，直到學生形成良好的書寫習慣。B：根據各個階段的內容，學生的年齡特點，組織不同形式的競賽活動，旨在活動中讓學生互相學習，規范學習習慣。

2、對計算法則模糊所造成的錯誤

牢固地掌握計算法則是正確進行計算的必要條件。然而，總有部分的學生對法則沒有完全的理解，造成作業中想到這步忘記那步，個體究不出緣由，需要幫助才能獲得解決。如：9.6×1.8 ， 學生能計算第一步，卻容易把第二步跟個位對齊，造成結果的錯誤。再如小數除法中0.21÷0.025，一類錯誤是21÷25，這是對小數除法中被除數和除數同時擴大相同的倍數沒有正確理解造成的；二類錯誤是210÷25，但在計算中，依舊將小數點與原數的小數點對齊，這是對算理的理解不夠透徹。再如：6.7÷66，商是循環小數，可需要算到第六位才能正確的看出循環節，可學生在計算時往往只算到第三位或第四位便寫出了循環節，這是對循環小數特點的不完全掌握造成，如若學生在課堂上經歷了完整的找循環節的過程，相信不會那么草率地認定這個題目的答案。

這類錯誤的產生有兩個原因，一方面跟教師上課的質量有關，上課重點未突出，概念講解模糊不清，沒有設計學生探究的活動，就不能啟發誘導學生正確牢固地掌握計算法則。另一方面跟學生上課的效率有關，學生聽講不認真，不知道抓重點聽，不知道跟著內容走，造成對新知的一知半解。

對策A：認真備課，提高課堂教學質量。除了認真鉆研教材外，還要花更多的時間了解學生。在教學中，要特別注重學生的思維過程，利用豐富的情境引導學生從本質上掌握知識點，而不僅僅是計算技能的強化。B：加強學生學習方法的指導。由于個體差異，很多的學生不知道高效地聽講，這直接影響到學習的效果。那么作為一名走進課堂的教師，要時刻謹記科學的學習方法的傳授，抓典型，樹榜樣，幫助全體學生找到適合自己的學習方法。

3、基本口算的不熟練

小數乘法教學反思范文第4篇

一、樣例、遷移

“樣例學習又叫從例中學，是學習者通過研習樣例而習得專家的問題解決方法的一種學習方法。”那么什么又是知識遷移？又怎樣進行知識的遷移呢？知識遷移就是“一種學習對另一種學習的影響”。在學習這個連續過程中，任何學習都是在學習者已經具有的知識經驗和認知結構、已獲得的動作技能、習得的態度等基礎上進行的。這種原有的知識結構對新的學習的影響就形成了知識的遷移。要促進遷移的產生，首先要有教師的指導。其次要掌握學習材料的特性。三是學習的心向與定勢。它們指的是同一種現象，即先于一定的活動而又指向該活動的一種動力準備狀態。四要選擇好適合的媒體。還有就是有較多相似的知識更容易產生遷移。學習者原有的認知結構也很重要。

二、實驗研究

（一）實驗一

1.研究目的：樣例范圍變化對小學乘法遷移影響是否很大，還有哪些重要因素影響學生學習小數乘法學習結果。

2.實驗方法：本次試驗采用2（第一個因數整數、小數）×2（第二個因數整數、小數）×4（樣例變異的四個水平）三因素隨機試驗。其中兩因數為被試內變量，樣例變異為被試間變量，因變量為遷移成績。

3.實驗對象：選取我校五年級202名沒有學習過小數乘法但是學習過整數乘法的學生為實驗對象，其中男生112人，女生90人。學生按自然班進行試驗。

4.實驗材料：實驗材料分為學習材料和測試材料。學習材料分為無變異材料和有變異材料。無變異材料即因數變為整數乘以多少，算出的積就除以多少得到結果。有變異材料分三個水平（1）兩個因數分別乘以多少，積就除以他們的乘數的積，得到結果。（2）末尾出現零，零在小學學的不深但用的較多。（3）積不但末尾出現了零，而且前面位數不夠時還要補零。

5.實驗程序：實驗分為兩個階段，第一階段202名被試研習學習材料，時間為8分鐘左右，學習完畢材料收回。進入第二階段，測試階段，被試根據學習材料完成4組習題的其中一組，要求寫出完整的解題過程。測試時間為5分鐘，測試結束，材料收回。

數據觀測方法：每道測試題分為橫式和豎式兩部分，兩部分都完整給10分，一半對給5分。

6.實驗結果：無變異那一組題知識遷移的主效應顯著，學生學習起來比較容易。有變異的第一組兩個因數分別乘以多少，積就除以他們的乘數的積，得到結果，知識遷移的主效應顯著，學生學起來問題不大。有變異的第二組末尾出現零，需要化簡，知識遷移的效應其次，有變異的第三組積不但末尾出現了零，而且前面位數不夠時還要補零，知識遷移效應不是十分明顯。以自然班為單位學生的影響因素被排除。

（二）實驗二

1.研究目的：樣例范圍變化對小學乘法遷移影響是否很大，還有哪些重要因素影響學生學習小數乘法學習結果。

2.實驗方法：本次試驗采用2（第一個因數整數、小數）×2（第二個因數整數、小數）×3（學生：學優、學中、學困）三因素隨機試驗。其中兩因數為被試內變量，學生層次為被試間變量，因變量為遷移成績。

3.實驗對象：選取我校五年級202名沒有學習過小數乘法但是學習過整數乘法的學生為實驗對象，其中男生112人，女生90人。學生按自然班進行試驗。

4.實驗材料：實驗材料分為學習材料和測試材料均為實驗一的材料。測試材料按照學習材料的四種類型編輯，為防止工作記憶的干擾每種類型只涉及2道，共8道題。將這8道題編好號，每類一紐，按拉丁方方案發放。這主要是想避免學習效果干擾。

5.實驗程序：實驗分為兩個階段，第一階段202名被試研習學習材料，時間為8分鐘左右，學習完畢材料收回。進入第二階段，測試階段，被試根據學習材料完成4紐習題的其中一組，要求寫出完整的解題過程。測試時間為5分鐘，測試結束，材料收回。

數據觀測方法：每道測試題分為橫式和豎式兩部分，兩部分都完整給10分，一半對給5分。

6.實驗結果：學優生組知識遷移的主效應顯著，學生學習起來比較容易。學中生兩個因數分別乘以多少，積就除以他們的乘數的積，得到結果，知識遷移的主效應顯著，學生學起來問題不大。有變異的第二組末尾出現零，需要化簡，知識遷移的效應其次，有變異的第三組積不但末尾出現了零，而且前面位數不夠時還要補零，知識遷移效應不是十分明顯。學生的自身條件越優越遷移的效果越好，尤其是測試題復雜之后，影響就越顯著。

三、結論

小數乘法教學反思范文第5篇

一、備課的誤解

第一個誤解是把“寫教案”等同于“備課”。有學校把定期檢查教師的教案作為管理教學質量的手段，認為教案的質量等同于教學質量，導致一些教師養成了為應付檢查而寫教案的習慣，使得備課成為被動的“抄寫”活動，失去了主動的思考和學習，備課并沒有成為上課的準備，而成為了“不得已而為之”的負擔，備課沒有成為主動的腦力勞動，而成了被動的體力勞動。

事實上，教案就是對課堂教學的一個計劃和安排（Lesson Plan），應當是對備課中思考和學習的一個記錄。這個記錄可以寫出來，也可以不寫出來；可以寫得很詳細，也可以寫得很簡略，甚至也可以不寫出來。教案是為教師自身教學所使用的，因此寫出來還是不寫出來、寫得詳細還是粗略，應當由教師依據自身情況和需要自由決定，而不應當按照某一種模式硬性地統一要求。備課的質量是由教師主動“思考和學習”的質量決定的，而不是由寫不寫教案或者教案寫成什么樣子決定的。備課的水平決定了教學質量，而教學質量最終是靠培養出來的學生的質量來檢驗的。因此，試圖通過檢查教案的方式檢驗教師的教學質量，顯然是不妥的。

第二個誤解是備課內容追求全面，其結果是備課中需要思考的內容變得“復雜化”和“形式化”。比如，要求書寫格式必須包括“課題名稱、教學目標、重點難點、教學過程、板書設計”等，其中“教學目標”必須包括所謂的“三維目標”。一些地區開展的說課比賽中，組織者更是規定了“八股文”式的模板，規定說課內容要包括“指導思想與理論依據，教材分析與學情分析，教學目標與重點難點，教學流程與教具學具，教學評價與方式方法，教學特色與教學反思”，其中的“教材分析”必須包括多個版本教科書的對比分析，“學情分析”必須通過所謂的“前測”來進行。試想，在日常教學中，教師準備40分鐘的一節課，怎么可能去認真思考如此煩瑣的內容？在這樣的模板下，教師的備課不是獨立地思考和學習，而是在揣摩“檢查者”或“評委”想法的基礎上的“東抄西抄”，當然也就談不上發揮教師的主動性和創造性了。這種追求全面的備課要求實質上是“把簡單問題復雜化”，使人無法聚焦重點，自然就不能使得思考深入，只能是“用華麗的詞匯掩蓋空虛的內容”。

第三個誤解是備課中的思維方式模式化。在不同地區、不同學校經常聽到一些模式化的說法。比如，“必須要有生活情境，必須要有直觀模型”，等等。無論是“生活情境”還是“直觀模型”都屬于教學的方法與手段，方法與手段是為內容和目的服務的。不同的內容和目的所適用的方法和手段可能是不同的。這些模式化的思維方式可能是來源于一線教師對所謂“專家”的迷信，認為專家說的都是正確的。中國教育的一個特點是眾多的沒有做過中小學教師的專家在指導著中小學教育教學。這樣的指導可以說是利弊參半，最不可取的指導有兩種類型，一種是把外國人的話變成晦澀的中文灌輸給教師，使得教師誤認為“外國的就是先進的”“聽不懂的就是高深的”理論；第二種是“有想法、沒辦法”的所謂指導，這種“眼高手低”的指導給人的感覺是高高在上、可望而不可即，空談理念和意義，對于教育教學中的實際問題說不出解決辦法。這樣“沒錯且沒用”的指導只會使得一線教師慢慢習慣于高談闊論式的教學研究，而對于教育教學中的實際問題卻視而不見。

第四個誤解是只關注教學內容，而忽視課堂組織形式的設計。什么樣的任務適合獨立思考？什么樣的任務適合同伴交流？什么樣的任務適合小組合作？每一個學習任務需要安排多少時間？完成任務后應當如何組織匯報？學生匯報過程中如何組織其他學生的傾聽與交流？這些問題其實都是需要在備課過程中認真思考并有所安排的。

綜上，備課作為教師上課前的準備活動，應當是一個個性化的活動，并沒有統一的模式。備課永遠不會有最好的模式，每一位教師都可以創造出最適合自己以及自己學生的備課方式。從某種意義上說，這也是“教無定法”的一種體現。

“變教為學”的教學從知識安排的角度說，強調突出本質和實現關聯，所謂“突出本質”就是明晰知識屬性，由此可以確定其學習的過程與方法。[1]“實現關聯”的一個重要方面是把“新”內容與學生已經熟悉的內容建立聯系，實現“化未知為已知”。為此，備課中需要思考和研究的一個重要問題就是辨別“新”知識。

二、辨別“新”知識

辨別新知識是確定學習目標的基礎。這樣的思考關注哪些內容對學生的學習來說是“新”的、哪些是學生已經熟悉的，這將成為設計“怎樣學”的依據。下面以“小數乘法”和“小數除法”為例說明?！靶党朔ā笔窃趯W習了“整數乘法”“小數的認識”以及“小數加減法”之后的內容，應當說是以上內容的重新組合，從數學的角度看，這種“重組”并沒有出現什么新知識。但從學生的學習來說，就可能存在著學生所不熟悉的“新”內容。

學生之前對“乘法”的認識是“相同加數求和”，如果把這種認識用于對小數乘法的理解就會產生困難。比如，小數乘整數的“0.5×3”，可以理解為是“3個0.5相加”，也就是“0.5+0.5+0.5”，但是反過來“0.5個3相加”就不好理解了。類似地小數乘小數“0.5×0.3”，用“相同加數求和”也很難理解其含義。

“小數除法”也是類似，學生過去所熟悉的整數除法算式一般有兩種理解方式，比如對于“24÷4”，第一種理解是“24中包含有多少個4”；第二種理解是“把24平均分為4份，每份是多少”。不妨把第一種理解簡稱為“包含除”，第二種簡稱為“等分除”。對于“22.4÷4”如果用“包含除”理解，那就是問“22.4中包含有多少個4”。這樣的理解對于如圖1的豎式計算過程就難以解釋了。

圖1計算過程實際上分為兩步，用“包含除”的語言說，第一步算出了“22中包含有5個4”，剩余部分是“2.4”，比除數4小，就無法用“包含除”的語言繼續解釋下面的“2.4÷4”了。只能用“等分除”的語言敘述為“把2.4平均分為4份，每份是多少”，如果除數也是小數，同時被除數小于除數，那么無論是用“包含除”還是“等分除”都很難解釋除法算式的含義。比如“0.1÷0.2”，既不能說成“0.1中包含有多少個0.2”，也不能說成“把0.1平均分為0.2份，每份是多少”。

另外，學生學習“整數乘法”和“整數除法”后會不自覺地形成兩種認識，第一種認識是“乘法使得結果變大”“除法使得結果變小”。[2]第二種認識是做除法的時候“被除數總是大于除數”的。這兩種認識在學習小數乘除法的時候都發生了變化。因此，在學習小數乘法和小數除法之前，首先需要學習的“新”知識不是程序化的“算法”，而是針對小數乘法算式和除法算式含義的理解。

三、為新、舊知識搭橋

辨明對學生來說可能的新知識后，需要思考的重要問題是如何把“新”知識變成“舊”知識，也就是把新知識與學生已經熟悉的知識或者經驗建立聯系。

對于“小數乘法”，一種較為普遍的學習方式是借助長方形的面積。圖2正方形ABCD的邊長為1，所以面積為1。

在圖2正方形的AB邊上截取0.5長度，AD邊上截取0.3長度，那么長方形AEFG的面積就可以用“0.5×0.3”表示。類似于這樣的方法在國內外小學數學教科書中普遍采用，比如人民教育出版社出版的《義務教育課程標準實驗教科書數學》五年級上冊中對小數乘法的引入，就采用了求面積引入小數乘法。

在國外的數學教學中把用長方形面積展示小數乘法過程叫作小數乘法的“直觀化（Visualization）”，比如對于“5.7×1.4”的計算過程和結果，就可以用下面的圖形直觀地展示出來。[3]

圖4 小數乘法示意圖

用長方形面積直觀理解小數乘法，實際上是默認了一個前提，就是邊長為小數的長方形面積可以用“長×寬”計算，這一點與學生之前的經驗并不相符。所謂“長×寬”的長方形面積公式，學生最初是用“數方格”的辦法學習的，數字“1”對應的是一個方格，邊長都是整數。而在圖4中數字“1”對應的是一個“大方格”，其中還包含了100個“小方格”，實際上是把小數變成整數進行理解，并沒有揭示小數乘法的真正含義，仍然會對學生理解小數乘法構成困難。

對小數乘法算式真正的理解需要借助分數的思維方式，用分數的眼光看待小數及其乘法運算。比如0.5可以看作是或者，把0.3看作是。那么“0.5×0.3”就可以理解為“0.5的”或者“0.3的”。兩者的相等關系可以從下面的圖5中看出：

0.5的：

0.3的：

圖5 0.5×0.3的理解圖示

在實際的購物問題中就可能出現類似的計算，比如，“一個物品的價格是0.3元，買半個多少元？”這個問題可以用“0.5×0.3”來計算，實質上是用求“0.3的”進行思考的。行程問題中，如果一個人的步行速度是平均每分鐘0.12千米，那么半分鐘步行距離就可以用“0.12×0.5”來計算，也是運用了“求一個數的幾分之幾”的思維方式。

在這樣理解的基礎上，應當可以對小數乘法的

結果進行口算或估計。比如，“0.5×0.3”是“0.3的”，因此結果應當是“0.15”。再比如，“5.7×1.4”，由于“5.7”接近5的和6，“1.4”接近1.5。因此，可以知道“5.7×1.4”應當比“5的一倍半”大，比“6的一倍半”小，也就是這個結果應當介于7.5和9之間，在沒有精確計算的時候，利用分數的思維方式已經估計出了準確結果所在的范圍，這對將來算法的學習是十分有益的。

對于小數除法來說，最難理解的情況是“除數是整數部分為0的小數，并且被除數小于除數”，對于這樣的情況可以利用“比和比例”的思維方式進行理解。比如，一個物品單價為0.2元，如果某顧客只有0.1元，可以買多少？這個問題可以通過計算“0.1÷0.2=0.5”來解決。這樣的方法實質上是利用了“總價”與“數量”成正比例，也就是說“0.2元與0.1元之間的倍數關系”與“1個物品和0.5個物品之間的倍數關系”是一樣的。這樣的關系可以從圖6的表格中明顯看出：

總價（元） 0.2 0.1 …

數量（個） 1 0.5 …

圖6 總價、數量關系圖

這個時候“0.1÷0.2”既不是“等分除”，也不是“包含除”，而表達的是0.1與0.2之間的倍數關系，這實際上就是“比和比例”的思維方式。再比如，中國古代重量的計量單位有“斤”和“兩”，兩者的關系為1斤等于16兩。因此有一個成語叫作“半斤八兩”，表示勢均力敵、不相上下的意思。如果在已知“半斤”等于“八兩”的基礎上問“0.2斤等于多少兩”？其間的數量關系可以用圖7的表格展示出來：

斤 0.5 0.2 ……

兩 8 ？ ……

圖7 半斤八兩示意圖

此時用“0.2÷0.5”得到的“0.4”就是0.2與0.5之間的倍數關系，由于“？”與“8”也符合這樣的倍數關系，所以0.2斤對應的就是“8×0.4=3.2（兩）”。

因此，對于小數乘、除法一種有效的理解方式是充分利用計量單位之間的比例關系。小學階段含有這種計量單位的“量（magnitude）”主要包括描述物體“大小”的長度、面積、體積；描述物體“輕重”的重量（質量）；描述價值“貴賤”的人民幣；描述經歷“長短”的時間；描述“冷熱”的溫度；描述“快慢”的速度；描述旋轉或者“張開程度”的角。凡此都可以成為理解小數乘、除法算式的素材，成為溝通新、舊知識的橋梁。雖然比、比例以及正、反比例等都屬于六年級的課程內容，但相關的方法和思維方式是在數學課程中貫穿始終的。

以上關于“小數乘、除法”的課程內容具有“似舊不舊”的特點，也就是表面看沒有新內容，而實際上存在著與學生已有知識和經驗不同甚至相悖的內容。因此，備課中應當著力挖掘其中蘊含著的“新”內容，這些新內容將成為學生學習的重點和難點。

四、似新未必新

數學課程中還有一類與“似舊不舊”相對的課程內容，可以叫作“似新不新”，也就是表面看是新知識，而實際上學生之前對其已經具有了相當豐富的知識和經驗。備課中一個重要工作就是把“似新”的內容與學生已經熟悉的內容溝通聯系，使之成為“不新”的內容。“圓的面積”通常被認為是難教并且難學的課程內容。事實上如果溝通了圓與三角形的關系，學生完全可以自己推導出圓的面積公式。[4]如圖8，首先把一個半徑為r的圓面內部畫出若干同心圓：

然后想象將這些同心圓逐一取出：

接下來想象將圖9中所有同心圓從某處剪開并拉直，依次擺放在一起：

這樣就形成了一個兩條直角邊分別為半徑“r”和圓周長“2πr”的直角三角形。

所有變換過程并沒有使得面積發生改變，因此圖11三角形的面積與原來圖8圓形面積相等，因此利用三角形面積公式就可以求出圓的面積為πr2了。這樣的過程與之前學生所熟悉的將“平行四邊形”轉化為“長方形”求出平行四邊形面積公式的過程是一樣的。[5]另外，這樣的過程實質上是利用了微積分中所謂“分割、求和、取極限”的方法，也是利用“離散量”研究“連續量”的過程。[6]

“變教為學”主旨在于讓學生自己經歷知識的發現與發明，這就要求教師備課中需要認真研究并且辨別新知識，進而溝通其與舊知識的聯系，在此基礎上為學生設計有效的學習任務和學習活動。

參考文獻：

[1] 郜舒竹. “變教為學”說備課[J]. 教學月刊小學版（數學）. 2014，（1/2）.

[2] Anna O. Graeber and Dina Tirosh. Insights Fourth and Fifth Graders Bring to Multiplication and Division with Decimals[J]. Educational Studies in Mathematics， Vol. 21， No. 6 （Dec.， 1990）， pp. 565-588.

[3] Margaret Rathouz.Visualizing Decimal Mulyiplication with Drea Models：Oppor Tuniies and Challengesc.[J]. IUMPST： The Journal. Vol 2 （Pedagogy）， August， 2011. [k-12prep.math.ttu.edu].

[4]郜舒竹，夏寶霞. “幾何直觀”觀什么[J]. 教學月刊小學版（數學）. 2013，（4）.

[5]郜舒竹. 由此及彼，探索規律[[J]. 教學月刊小學版（數學）. 2013，（12）.