巖石粘彈性模型辨識

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摘要：本文回顧了常用的幾種巖石粘彈性本構模型，依據蠕變柔量的概念，用位移和蠕變柔量兩步反分析法從粘彈性本構模型的一般表達式中辨識出巖石的本構模型.先由相應的位移實測值用解析法反演巖石的蠕變柔量，再由巖石的蠕變柔量運用非線性優化技術辨識出巖石本構模型表達式，最后進一步由模型參數反算出巖體的粘彈性參數.文中最后給出了工程實例.

關鍵詞：粘彈性本構模型蠕變柔量兩步反分析法反問題巖石

巖體屬于各向異性流變介質，由于其客觀復雜性，在巖體理論分析和數值模擬方面，參數和模型的正確給定是巖石力學研究中的兩大難題，它們的合理性將大大增強巖體工程分析設計的可靠性.新奧法施工及目前廣泛應用的現場監控法或信息反饋施工法是把巖石的變形觀測作為對原設計及施工方案進行修正的依據[1，2].這些方法緊密結合工程實際指導修改原設計，收到了良好的效果，已廣泛應用于巖土工程實踐領域.參數取值，傳統的方法大多憑經驗、工程類比來進行，常常不能作出科學的判斷.參數反演作為參數辨識的一種方法，是基于實測位移反求系統某種參數的一種逆問題，對確定認識系統和進一步正演分析相當重要.參數的辨識，包括模型參數的辨識，是在模型的結構式給定的情況下進行的，模型的給定與實際相符合的程度顯然相當重要.工程巖體是復雜的不確定系統，巖體的流變力學模型較多，模型識別的問題有著重要的理論意義和實用價值.在巖體本構模型的辨識，尤其是與時間有關的粘彈性本構關系辨識方面當前還有許多問題值得研究.

本文回顧了工程應用和科學研究中幾種常用的巖石粘彈性本構模型，然后依據蠕變柔量概念，用位移和蠕變柔量兩步反分析法從粘彈性本構模型的一般表達式中辨識巖石本構模型，第一步由相應的位移實測值用解析法反演巖石的蠕變柔量，第二步由巖石的蠕變柔量運用非線性優化技術辨識出巖石本構模型的表達式，最后進一步由模型參數與粘彈性參數的關系反算出巖石的粘彈性參數.

1粘彈性本構模型回顧

工程巖體的長期穩定性是當今巖土工程領域的一個十分重大的前沿問題[3].工程巖體的變形破壞是有時間過程的，具有時間效應，巖體流變是巖體的重要基本力學特性和行為，對于某些實際巖體工程，研究變形的時間效應有著極其重要的意義[8,9].真實巖體是一種非連續、非均質、各向異性的流變介質，目前很難用數學手段作出適當精確描述.在一定情況下，可將巖體視為似連續、均勻化、類各向同性介質，采用經驗與理論相結合，定量分析定性使用的原則，對工程設計與施工起重要的定性指導作用[10,11].在這一前提下，在巖土工程應用和科學研究中提出的粘彈性本構模型主要包括經驗模型和組合模型[5](彈性和粘性元件的不同組合而成).表1列出了常用的幾種微分型組合模型的公式及其特征(h代表彈性元件，n代表粘性元件).在一般狀態下，這些組合模型的本構方程微分形式的一般式可表示為[5]

表1常用巖石粘彈性微分型組合本構模型

式中：

式(1)即線粘彈性微分型本構關系的一般表達式.

2粘彈性模型識別

2.1巖體介質蠕變柔量的確定在彈性巖體中開挖任意形狀斷面的隧道，應用平面復變影射、保角變換方法可得圍巖內任一點在曲線坐標中的位移為[7]

由彈性理論確定.其中：ω(ζ)為垂直隧道軸線的物理平面z上的非圓形洞室外域到數學平面ζ內單位圓外域的映射函數；φ(ζ)和ψ(ζ)為滿足應力邊界條件的復勢函數.

應用彈性—粘彈性對應原理，對照式(2)，得出任意斷面的隧洞內任一點因開挖引起的粘彈性位移在曲線坐標中的表達式為[8]

d(x)為荷載逐步釋放系數，若計算斷面遠離開挖面，則可作為平面應變問題處理；若接近開挖面，則嚴格說來是空間問題.為使問題簡化，考慮了開挖面空間效應后，仍作為平面問題來處理.開挖面空間效應通過洞周釋放荷載逐步釋放代替瞬間完全釋放來體現.據研究資料[4]表明，其取如下形式：d(x)=1-0.7exp(-3.15x/2a).其中，a為隧洞半徑；p0為垂直向初始地應力；g為剪切模量；r為所考慮點到隧道軸線的距離；λ為側壓力系數；k為體積模量，d(x)為應力釋放系數，x為計算斷面距開挖面距離.

在流變巖體中開挖任意形狀的隧道，在開挖之前布置量測儀器，可測到由于開挖引起的全部位移，在ti時刻可測到n個測點由于開挖引起的相對徑向全部位移，記為uk(ti),k=1,2,，…，n,i=1,2,,…，l(假定量測了l個時段)，代入式(4)，則有蠕變柔量jl(ti)和廣義蠕變柔量j2(ti)的線性方程組

2.2粘彈性應力應變關系的確定線粘彈性微分型本構關系的一般表達式如式(1)所示，對其進行拉氏變換，考慮光滑化假定，得[7]

對于(s)=0有重根或虛根的情況，j(t)中含有時間t的階次項和正余弦項，且未知參量個數增加，給反演優化大大增加了難度，收斂性差，不利于程序的統一編制，這里作了一些簡化，在工程實際中，復雜的高階次模型也不必要.

式(10)中，在模型階次確定時，參數ai(i=1～2m+1)與模型式(1)中的模型參數p0,p1,p2,…,pm,q0,q1,q2,…,qn有一定的對應關系，由式(9)和式(10)可推導得出，模型參數均可用ai簡單運算表達.

表2常用巖石粘彈性模型參數表

利用實測位移由式(6)可求出眾多不同時段ti的蠕變柔量ji(ti)的最佳估計值，又由式(10)可得相對應的j(ti)(i=1～l)，因而構造如下的非線性優化目標函數：

（11）

式(10)是ai的非線性函數，該問題是一非線性最小二乘優化問題，帶約束的隱式非線性優化問題，這里采用了可變容差優化方法，它是在單純形法和復合形法的基礎上變化而來，具體見文獻[6].

上述模型參數估計是在模型已經確定的情況下進行的，即偏微分方程的階次m,n為已知的.這里模型的最佳階次m,n的確定不是通過數學推導求出，而是通過試驗來確定的.令模型階次m,n的取值從1開始，分別以步長1遞增，比較m,n取不同值時最優估計式(11)的值，即擬合誤差.通常隨著階次增大，擬合誤差下降.但當階次為最佳階次時，擬合誤差達到最??；然后隨著m,n的增大，擬合誤差趨向增大.

3粘彈性參數的反算

粘彈性力學本構模型中的模型參數為粘彈性參數的函數，若辨識出巖石的粘彈性微分型模型，則可反算出巖石的粘彈性參數，這里粘彈性參數包括彈性模量和粘性系數.在研究和工程應用中，常用的幾種粘彈性模型已在表1中列出，它們的模型參數與粘彈性參數的關系如表2，可以反算出相應的巖體力學參數.

4工程實例

某地下工程開挖一條半徑為2.0m的試驗洞，圍巖體可視為均勻各向同性粘彈性體.圍巖垂直初始應力為4.5mpa，側壓力系數為1.5，泊松比為0.26.實測數據由通過圓中心的水平和豎直兩條測線l1和l2得到.以某斷面被開挖瞬間作為時間起點進行觀測，實測數據如表3所示.

表3各測線的位移實測值(單位：mm)

將上述實測結果及洞室幾何尺寸等數據輸入到用本文方法編制的程序中，進行迭代計算.第一步利用位移量測值由式(6)得出不同時段的蠕變柔量值，第二步由計算出的不同時段的蠕變柔量值通過式(11)優化計算，得到如表4所示結果.由表4可得出，模型的階次為1階，相應辨識出的模型為0.329×10-8σ+0.366×10-4=0.843×10-3ε+

由實測數據初始時刻位移及辨識的模型形式初步確定，該巖體粘彈性模型可作為三參量kelvin-voigt模型，由表2反算粘彈性參數為e1=2.73e+4，e2=4.14e+5，η=4.91e+8，彈模型單位為mpa，粘性系數單位為mpa·d.

上述結果同已有的勘測和試驗成果較一致，室內試驗的結果為e1=2.51e+4，e2=4.62e+5，η=5.36e+8.

如果量測數據較多，可多算出幾組結果，統計出其中擬合誤差最小的階次所占的百分比，通過百分比最高的階次來得出模型的階次及模型參數.

表4模型辨識計算結果

5結語

巖體本構模型辨識及參數反演是巖石力學理論和工程實踐的重要問題，本文依據蠕變柔量明確的物理意義，初步探討了通過兩步反分析辨識出巖體的粘彈性模型，并對于常用的粘彈性模型反算出其粘彈性參數，粘彈性模型的表達式取自于線粘彈性模型的一般形式.算例表明有較好的工程實用價值.對于工程巖體，完全符合某一種力學模型是難以做到的，但可以根據一定的匹配原則，在允許誤差內選取最恰當的力學模型.巖體本構模型辨識當前研究相對較少，如何選取適當的匹配準則來獲得最佳模型仍是今后需要進一步深入研究的課題.