數(shù)學(xué)課題教學(xué)

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摘要：數(shù)學(xué)課題探究教學(xué)是指，在教師指導(dǎo)下，圍繞某一課題，運(yùn)用探究的方法主動(dòng)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，獨(dú)立、自主地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)科學(xué)精神和創(chuàng)造性思維與能力的一種實(shí)踐活動(dòng)。它具有內(nèi)容的開(kāi)放性和方法的多樣性等特點(diǎn)。其內(nèi)容主要有數(shù)學(xué)基本概念和規(guī)律、數(shù)學(xué)中的綜合問(wèn)題、現(xiàn)實(shí)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題以及科學(xué)前沿中的數(shù)學(xué)問(wèn)題等。數(shù)學(xué)課題探究教學(xué)包括教師示范指導(dǎo)和誘導(dǎo)、學(xué)生探究、師生共探三個(gè)基本環(huán)節(jié)。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)課題；探究教學(xué)Abstract:Inquiryteachingofmathematicsresearchtopicsisakindofpracticalactivity,inwhichstudentsconductresearchaboutonetopicundertheguidanceofteacherssoastogainknowledgeactively,dealwithmathematicsproblemsindependently,cultivatescientificspiritandcreativethinkingandabilityaswell.Ithasthecharacteristicsofopennessincontentsanddiversityinmethods.Itscontentscontainmathematicsbasicconceptsandregulations,theintegratedproblemsofmathematicsandmathematicalproblemsinthereality,themathematicalproblemsinthefrontierofscienceandsoon.Theinquiryteachingofmathematicsresearchtopicsinvolvesteachers’guidanceandinduction,students’inquiryandtheinquiryofteacherstogetherwithstudents.Keywords:mathematicsresearchtopics；inquiryteaching在新課程條件下，隨著“探究教學(xué)”的提出與實(shí)施，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育面臨著諸多挑戰(zhàn)。廣大一線教師對(duì)如何開(kāi)展課題探究教學(xué)存在著一些困惑。本文對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的課題探究進(jìn)行初步探討，以期對(duì)數(shù)學(xué)課程的實(shí)施有所裨益。一、開(kāi)展數(shù)學(xué)課題探究教學(xué)的必要性當(dāng)今衡量一個(gè)人學(xué)習(xí)能力、生存能力的高低，不在于他掌握了多少知識(shí)，而在于他探索、研究、創(chuàng)造能力的高低。因此，在數(shù)學(xué)教育中，培養(yǎng)學(xué)生的探究、創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力，成為教育的重要價(jià)值取向。研究表明，課題探究教學(xué)更有利于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)，不失為一種有效的教學(xué)方式。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育過(guò)于注重升學(xué)率的提高，大搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，將所有的知識(shí)點(diǎn)精選之后，一一灌輸給學(xué)生。學(xué)生為題所困，已無(wú)暇顧及系統(tǒng)知識(shí)的學(xué)習(xí)，更不用說(shuō)形成問(wèn)題解決的能力了。《基礎(chǔ)教育課程改革綱要（試行）》（2001年）明確提出，要“改變課程實(shí)施過(guò)于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生的主動(dòng)參與、樂(lè)于探究、勤于動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息的能力、獲取新知識(shí)的能力、分析和解決問(wèn)題的能力以及交流與合作的能力”。[1]因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以課題探究教學(xué)為紐帶，在傳授系統(tǒng)知識(shí)的同時(shí)，注重學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)、知識(shí)間的內(nèi)在、邏輯聯(lián)系，從而使學(xué)生對(duì)本學(xué)科有一個(gè)全局、整體的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而形成一種積極、能動(dòng)地解決問(wèn)題的能力，不失為一種好的方法。事實(shí)上，課題探究教學(xué)是數(shù)學(xué)教育發(fā)展的必然要求。這主要表現(xiàn)在：1.隨著數(shù)學(xué)新課程的改革與實(shí)施，新的數(shù)學(xué)課程在課程設(shè)計(jì)、課程目標(biāo)、課程實(shí)施等方面對(duì)教師和學(xué)生都提出了更高的要求。與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程相比，新課程適應(yīng)當(dāng)今科學(xué)發(fā)展分化與綜合的趨勢(shì)，將“既重結(jié)果又重過(guò)程”的理念滲透其中，如在課程的實(shí)施方面，注重學(xué)生的探究過(guò)程、學(xué)習(xí)過(guò)程。2.“數(shù)學(xué)為大眾”這一發(fā)展特點(diǎn)，對(duì)教師提出了新的要求。1983年，德國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)米洛夫首次提出“大眾數(shù)學(xué)”這一口號(hào)，這標(biāo)志著數(shù)學(xué)教育不能只為少數(shù)尖子，而讓多數(shù)人去陪少數(shù)人，數(shù)學(xué)教育應(yīng)面向大眾。1984年，在澳大利亞舉行的第五屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)設(shè)立了“為大眾的數(shù)學(xué)”專題討論組，并確定它為數(shù)學(xué)教育的主要問(wèn)題之一。在此背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)中教師需更多地考慮每一個(gè)學(xué)生未來(lái)發(fā)展的需要，但也要注意到：這絕不是降低要求，而是要使人人都受到高水平的數(shù)學(xué)教育。這就要求充分發(fā)揮每一個(gè)學(xué)生的積極性，激勵(lì)他們自主學(xué)習(xí)，主動(dòng)地去探索和研究。3.數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展推動(dòng)了數(shù)學(xué)教學(xué)的改革。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)過(guò)分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)抽象結(jié)構(gòu)的“新數(shù)”運(yùn)動(dòng)，只注意數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)和結(jié)構(gòu)，而忽視了數(shù)學(xué)的發(fā)展和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，從而使數(shù)學(xué)的價(jià)值受到學(xué)生的懷疑。這促使人們?nèi)ニ伎?，去探索?shù)學(xué)教學(xué)中的深層次問(wèn)題：數(shù)學(xué)教學(xué)不只要傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，更為重要的是，要教會(huì)學(xué)生如何思維。所以，“問(wèn)題解決”以及“探究教學(xué)”的提出不僅成為20世紀(jì)80年代數(shù)學(xué)教育的口號(hào)和中心，而且直到現(xiàn)在，還是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。二、數(shù)學(xué)課題探究教學(xué)的內(nèi)涵與特征（一）數(shù)學(xué)課題探究教學(xué)的內(nèi)涵作為一種在教師指導(dǎo)下，以學(xué)生自主探究為主的教與學(xué)的方式，探究教學(xué)由來(lái)已久。它的思想淵源可追溯到孔子和蘇格拉底的教學(xué)思想中。而明確把“探究學(xué)習(xí)”作為一種教學(xué)方式的則是美國(guó)生物學(xué)家、課程專家、芝加哥大學(xué)教授施瓦布。他認(rèn)為探究教學(xué)是指這樣一種教學(xué)活動(dòng)：兒童通過(guò)自主地參與知識(shí)的獲得過(guò)程，掌握研究自然所必需的探究能力，同時(shí)形成認(rèn)識(shí)自然的基礎(chǔ)──科學(xué)概念，進(jìn)而培養(yǎng)探索世界的積極態(tài)度。我國(guó)學(xué)者也有類(lèi)似的定義，如“所謂探究教學(xué)，就是為兒童提供真實(shí)的問(wèn)題情境，讓兒童通過(guò)探究事物、現(xiàn)象和觀點(diǎn)而自主地獲得科學(xué)知識(shí)并形成探究技能和態(tài)度的過(guò)程”，[2]“探究教學(xué)是指在教師指導(dǎo)下學(xué)生運(yùn)用探究的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)，主動(dòng)獲取知識(shí)，發(fā)展能力的實(shí)踐活動(dòng)”，[3]以及“探究教學(xué)是指學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，以類(lèi)似科學(xué)研究的方式去獲取知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的學(xué)習(xí)方式”，等等。盡管對(duì)于探究教學(xué)的涵義，不同的人有不同的看法，但都包含兩個(gè)方面的要義：一是必須有教師的指導(dǎo)──教師提供必要的專業(yè)引領(lǐng)，使學(xué)生在探究中有明確的方向；二是以學(xué)生的“學(xué)”或“探究”為主──學(xué)生自主去思考、探究，而不是被教師直接引向問(wèn)題的答案。數(shù)學(xué)課題探究教學(xué)則是在教師指導(dǎo)下，圍繞某一課題，學(xué)生運(yùn)用探究的方法主動(dòng)獲取知識(shí)，發(fā)展能力的實(shí)踐活動(dòng)。其目的是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，掌握知識(shí)間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，從而對(duì)本學(xué)科有一個(gè)全面、系統(tǒng)的理解，培養(yǎng)科學(xué)精神和態(tài)度，逐步形成獨(dú)立、能動(dòng)地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。（二）數(shù)學(xué)課題探究教學(xué)的特征數(shù)學(xué)課題探究教學(xué)作為一種以課題為紐帶的探究教學(xué)，不僅具備一般探究教學(xué)的內(nèi)涵和特點(diǎn)（共性），同時(shí)還有自身的特點(diǎn)（個(gè)性）。1.各學(xué)科課題探究教學(xué)的共性（1）面向全體學(xué)生，提高科學(xué)素養(yǎng)。探究教學(xué)的根本目的不在于把少數(shù)學(xué)生培養(yǎng)成為尖子和精英，而是面向全體學(xué)生，使每一個(gè)學(xué)生都成為有科學(xué)素養(yǎng)的公民?？茖W(xué)素養(yǎng)包括科學(xué)知識(shí)、科學(xué)方法、科學(xué)態(tài)度、科學(xué)精神。探究教學(xué)就是要求學(xué)生自己動(dòng)手去做，自己動(dòng)腦去思考。學(xué)生在參與探究的過(guò)程中既學(xué)習(xí)了科學(xué)知識(shí)，又養(yǎng)成了主動(dòng)、積極的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)精神。這樣，在探究教學(xué)中，逐漸發(fā)展學(xué)生的觀察能力、建立假設(shè)的能力、推理和預(yù)測(cè)的能力，從而提高科學(xué)研究的能力。（2）結(jié)果與過(guò)程并重。傳統(tǒng)教學(xué)特別注意結(jié)果，在很大程度上忽視了知識(shí)獲得的過(guò)程。探究數(shù)學(xué)則注重知識(shí)獲得的過(guò)程，把學(xué)習(xí)方法和思維的訓(xùn)練放在首位。（3）重視學(xué)以致用。探究教學(xué)尤其注重發(fā)展學(xué)生運(yùn)用科學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。美國(guó)教育心理學(xué)家加涅把學(xué)習(xí)分為8個(gè)層次，其中最后3個(gè)層次分別是：①概念學(xué)習(xí)，即通過(guò)概念來(lái)了解事物的本質(zhì)；②規(guī)則學(xué)習(xí)，即懂得概念與概念之間的聯(lián)系；③問(wèn)題解決學(xué)習(xí)，即運(yùn)用概念和規(guī)則來(lái)解決問(wèn)題。探究教學(xué)非常注重這后3個(gè)層次的學(xué)習(xí)，尤其是問(wèn)題解決。這是它與一般的知識(shí)、技能學(xué)習(xí)的根本區(qū)別之一。與一般的掌握知識(shí)、解答問(wèn)題的學(xué)習(xí)活動(dòng)相比，它更符合人們的生活和社會(huì)的實(shí)際需要，因而有利于提高學(xué)生學(xué)以致用的本領(lǐng)。（4）學(xué)生獨(dú)自學(xué)習(xí)為主。在探究教學(xué)中，教師不再是傳統(tǒng)的“傳道、授業(yè)、解惑”的知識(shí)傳授者和管理者，而是學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí)的促進(jìn)者和合作者。作為促進(jìn)者，教師的主要任務(wù)是把握正確的探究方向，激勵(lì)學(xué)生勇于探索和創(chuàng)造的動(dòng)機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究。當(dāng)然，教師要根據(jù)每個(gè)學(xué)生的特點(diǎn)進(jìn)行不同的指導(dǎo)和引導(dǎo)。而作為合作者，教師要自覺(jué)地把自己當(dāng)做學(xué)習(xí)團(tuán)體中的一員，與學(xué)生一起共同學(xué)習(xí)、探索和討論。學(xué)生作為具有創(chuàng)造能力的學(xué)習(xí)社會(huì)中的主體，教師應(yīng)充分信任他們，相信他們?cè)谝欢ǔ潭壬嫌心芰M(jìn)行自主地探索和研究。因此，探究教學(xué)非常注重培養(yǎng)學(xué)生的主體意識(shí)，充分發(fā)揮他們的主動(dòng)性和積極性，把探索和研究深入下去。（5）注重發(fā)展性評(píng)價(jià)。傳統(tǒng)教學(xué)評(píng)價(jià)注重標(biāo)準(zhǔn)化測(cè)試。這種評(píng)價(jià)方式過(guò)分強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)和思維方式的統(tǒng)一性，壓抑了個(gè)性，不利于學(xué)生創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。而探究教學(xué)則強(qiáng)調(diào)評(píng)價(jià)的開(kāi)放性與多元化，即更注重發(fā)展性評(píng)價(jià)。它在評(píng)價(jià)的方式和評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)上都是開(kāi)放的、多元的。它既重視正式評(píng)價(jià)，也注重非正式評(píng)價(jià)，如小組評(píng)價(jià)、小組互評(píng)、學(xué)生自評(píng)等。在評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)上，考慮到學(xué)生的個(gè)體差異，則采用多層次的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，從而使評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)具有彈性化、人性化的特征。2.數(shù)學(xué)課題探究教學(xué)的個(gè)性（1）數(shù)學(xué)課題的開(kāi)放性。課題的開(kāi)放性要求教師不應(yīng)把學(xué)習(xí)內(nèi)容限制在某些方面，只要與數(shù)學(xué)有關(guān)，學(xué)生力所能及的，都可以成為課題探究的內(nèi)容。同時(shí)教師也不要因?yàn)閷W(xué)生提出的課題“不夠水平”或“不夠深刻”而去干涉他們。實(shí)際上，數(shù)學(xué)史上許多有重大意義的問(wèn)題開(kāi)始并不為人們所理解。因此，教師應(yīng)積極鼓勵(lì)和肯定學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和創(chuàng)新精神，不要讓這些思想一開(kāi)始便被扼殺在搖籃里。（2）數(shù)學(xué)課題探究方法的多樣性。作為一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)課題探究教學(xué)尤其注重學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式。思維方式不同，探究的方法也就不同。常見(jiàn)的方法主要有：數(shù)學(xué)演繹與歸納法、數(shù)學(xué)分析與綜合法、數(shù)學(xué)化歸方法、數(shù)學(xué)公理化方法等等。演繹推理是由一般性的命題推出特殊性命題的推理方法。演繹推理的重要形式是由大前提、小前提推出結(jié)論的三段論推理。這在中學(xué)數(shù)學(xué)中可大量使用。因此，在課題探究中要加強(qiáng)這種演繹方式的訓(xùn)練。歸納推理則是由個(gè)別的命題推出一般性命題的推理方法。一般根據(jù)概括對(duì)象是否完全而分為完全歸納法與不完全歸納法。完全歸納法是根據(jù)某一類(lèi)事物的全體對(duì)象作出概括的推理方法，如數(shù)學(xué)上的窮舉法?？傊瑪?shù)學(xué)課題探究教學(xué)在解決問(wèn)題的同時(shí)，加強(qiáng)了學(xué)生思維能力的訓(xùn)練，這樣又有利于學(xué)生提出新的課題，進(jìn)而進(jìn)行新的探究學(xué)習(xí)，從而形成良性循環(huán)。（3）數(shù)學(xué)課題探究需要進(jìn)行抽象。與其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)課題探究的抽象程度更高一些。例如，數(shù)學(xué)模型就是通過(guò)對(duì)原型的模擬或抽象而得來(lái)的，它是一種形式化和符號(hào)化的模型。在數(shù)學(xué)課題探究教學(xué)中，很多數(shù)學(xué)課題源于現(xiàn)實(shí)生活，而大多數(shù)學(xué)生通常在進(jìn)行純粹的數(shù)學(xué)計(jì)算、變換和推演時(shí)可能感到困難不大，可一接觸到現(xiàn)實(shí)中有待解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，往往束手無(wú)策。不少學(xué)生感到所學(xué)的概念、公式、定理等與實(shí)際問(wèn)題對(duì)不上號(hào)。這時(shí)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象，去掉一些無(wú)關(guān)緊要的枝節(jié)問(wèn)題，把問(wèn)題的本質(zhì)突出出來(lái)，從而利用已學(xué)過(guò)的概念、公式、定理、方法來(lái)解決問(wèn)題。

三、數(shù)學(xué)課題探究教學(xué)內(nèi)容的選擇與其他學(xué)科一樣，數(shù)學(xué)課題探究教學(xué)的內(nèi)容十分豐富。歸納起來(lái)，可以從以下四個(gè)方面考慮。（一）數(shù)學(xué)基本概念和規(guī)律數(shù)學(xué)中的基本概念和規(guī)律既是探究教學(xué)的起點(diǎn)和基礎(chǔ)，又是探究的對(duì)象。在教與學(xué)中，教師如果在基本概念和規(guī)律的學(xué)習(xí)過(guò)程中滲透探究思想，就會(huì)使學(xué)生加深對(duì)概念和規(guī)律的理解與掌握。例如，在學(xué)習(xí)圓的定義時(shí)，教師可先引導(dǎo)學(xué)生觀察實(shí)際生活中與圓有關(guān)的物體的特征：自行車(chē)的鋼圈和小飛輪、臺(tái)扇的外殼。通過(guò)測(cè)量中心到圓周的距離（忽略誤差），學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)圓的一個(gè)顯著特征：圓周上的點(diǎn)到圓心的距離處處相等。這時(shí)教師就可以引導(dǎo)學(xué)生歸納得出圓的定義了。（二）數(shù)學(xué)中的綜合問(wèn)題相對(duì)于知識(shí)點(diǎn)比較單一的問(wèn)題而言，綜合性問(wèn)題更有利于學(xué)生去探索和研究，也更有利于培養(yǎng)學(xué)生的敏銳洞察力和思維能力。例如，“要證明AB=CD，∠1=∠2,△ABC∽△DEF,AB∥CD……有哪些方法，可用哪些定理？”對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題的回答，就要求突破教材的結(jié)構(gòu)，重新以問(wèn)題為線索建構(gòu)知識(shí)體系。這樣，學(xué)生頭腦中的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)就會(huì)變得更加適合于擴(kuò)散性思維，也更有利于學(xué)生問(wèn)題解決能力的提高。[4]（三）現(xiàn)實(shí)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題可謂無(wú)處不在。數(shù)學(xué)就是從生活中的這些實(shí)際問(wèn)題開(kāi)始的。中國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》，都是為解決生產(chǎn)和生活中的問(wèn)題凝結(jié)成的成果。當(dāng)今時(shí)代，生產(chǎn)和生活中同樣有許多問(wèn)題可成為數(shù)學(xué)探究教學(xué)的對(duì)象。例如，電話費(fèi)的計(jì)費(fèi)方式如何用函數(shù)來(lái)表示，銀行儲(chǔ)蓄的稅后利息的計(jì)算，球隊(duì)的比賽場(chǎng)次計(jì)算，等等。在教學(xué)中對(duì)這些問(wèn)題的探究可激發(fā)學(xué)生的興趣，有利于培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。（四）學(xué)科前沿中的數(shù)學(xué)問(wèn)題選取一些與學(xué)科前沿有關(guān)的內(nèi)容作為探究的方向，可擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面，開(kāi)闊學(xué)生的視野。如選取哥尼斯堡七橋問(wèn)題、計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制問(wèn)題、模糊數(shù)學(xué)的有關(guān)問(wèn)題等。四、數(shù)學(xué)課題探究教學(xué)的基本環(huán)節(jié)探究是科學(xué)的本質(zhì)特征之一，沒(méi)有探究就不會(huì)有發(fā)現(xiàn)。作為中學(xué)生，一般不可能達(dá)到真正意義的探究，因而實(shí)施課題探究的重心就在于誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。當(dāng)前有不少師生認(rèn)為開(kāi)展課題探究是課堂之外的事情，其實(shí)這是一種誤解。事實(shí)上，在課堂教學(xué)中，同樣可以開(kāi)展課題探究。數(shù)學(xué)課題探究教學(xué)的關(guān)鍵在于讓學(xué)生獨(dú)立自主地學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)個(gè)人獨(dú)立學(xué)習(xí)活動(dòng)，教師加以引導(dǎo)，師生共同探究教學(xué)規(guī)律、原理。其基本教學(xué)程序可以總結(jié)如下：1.創(chuàng)設(shè)情境，提出課題；2.引出假設(shè)或猜想；3.實(shí)驗(yàn)探究，驗(yàn)證、論證；4.歸納結(jié)論，應(yīng)用提高。數(shù)學(xué)課題探究教學(xué)過(guò)程就是在教師有目的、有組織的指導(dǎo)下，學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程。這里舉一個(gè)簡(jiǎn)單例子加以說(shuō)明。首先創(chuàng)設(shè)情境：；；。然后提出課題：自然數(shù)從1連續(xù)加到100或更進(jìn)一步加到數(shù)等于多少？接著過(guò)渡到第二步，學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)行假設(shè)或猜想：；。然后激勵(lì)學(xué)生探究為什么。通過(guò)觀察，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)1+100=101，2+99=101，3+98=101，…，55+56=101，其中共有個(gè)101。因此推導(dǎo)出上面的結(jié)果。最后，教師可引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律，進(jìn)而加以推廣應(yīng)用。例如求2+3+4+5+…+=？2+4+6+8+……+2=？等等。筆者根據(jù)近年來(lái)有關(guān)數(shù)學(xué)課題探究教學(xué)的研究，就以下三個(gè)環(huán)節(jié)的具體實(shí)施做進(jìn)一步探討。（一）教師示范指導(dǎo)、誘導(dǎo)在這一環(huán)節(jié)里，教師的主導(dǎo)作用非常重要。關(guān)于探究課題的提出，教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，一般可從學(xué)生已有的知識(shí)中引出所要探究的課題。例如，在證明梯形中位線定理時(shí)，先提出：梯形中位線定理與三角形中位線定理有何異同？進(jìn)而提出如何把兩者結(jié)合起來(lái)的課題。然后教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)學(xué)過(guò)的有關(guān)幾何知識(shí)，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行假設(shè)、猜想，并展開(kāi)討論，設(shè)計(jì)出作各種輔助線的方案。接著學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，分組獨(dú)立進(jìn)行驗(yàn)證、證明。最后，學(xué)生獲得新的概念、定律及證明的思想、方法，從而解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。在整個(gè)環(huán)節(jié)中，教師要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，有意識(shí)地激發(fā)其興趣。心理學(xué)研究表明，興趣是促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的內(nèi)部動(dòng)力，學(xué)生只有對(duì)所探究的課題產(chǎn)生濃厚的興趣，才能想學(xué)、樂(lè)學(xué)、善學(xué)。當(dāng)然，探究教學(xué)過(guò)程不一定嚴(yán)格按照上述步驟進(jìn)行，可針對(duì)具體問(wèn)題具體分析，靈活運(yùn)用。數(shù)學(xué)課題探究教學(xué)中，通過(guò)一次探究性教學(xué)，可以使學(xué)生深入地理解一些重要的原理，掌握一些重要的數(shù)學(xué)思維方法。這些突破點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入科學(xué)殿堂的指示燈。例如，可把研究一所學(xué)校學(xué)生的身高作為一個(gè)課題，從中引出統(tǒng)計(jì)學(xué)中的平均數(shù)、方差以及分組、樣本估計(jì)等基本概念與規(guī)律及其應(yīng)用。（二）學(xué)生探究，注重思維發(fā)展在上一個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生會(huì)感到他和教師一樣都在進(jìn)行課題探究，于是就會(huì)以主人翁的態(tài)度積極地、主動(dòng)地并有極大可能從各種角度去審視、參與教學(xué)活動(dòng)。在這種情形下，學(xué)生就會(huì)圍繞問(wèn)題積極思考，于是學(xué)生的思維過(guò)程自由展示的機(jī)會(huì)就增多了。教師可根據(jù)學(xué)生思維中的漏洞、偏差，不失時(shí)機(jī)地加以點(diǎn)撥，同時(shí)引導(dǎo)其他學(xué)生共同探討，使他們處于積極的思考狀態(tài)中，獨(dú)立地觀察、分析、類(lèi)比、聯(lián)想、辨析、歸納等，以便最大限度地發(fā)揮學(xué)生自身的創(chuàng)造潛能。（三）“師生共探”，學(xué)會(huì)反思與感悟這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生對(duì)問(wèn)題已基本明了，但他們會(huì)或多或少存在一些困惑。因此教師應(yīng)適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思與感悟，以便加深對(duì)該課題的認(rèn)識(shí)，從而促進(jìn)遷移。教育是哲學(xué)，是藝術(shù)，是詩(shī)篇，是思想與思想的碰撞，是心靈與心靈的交流，是生命與生命的對(duì)話。［5］因此，教師需要本著和學(xué)生共同研討的精神，調(diào)動(dòng)并發(fā)揮學(xué)生在探究教學(xué)中的主動(dòng)性。通過(guò)優(yōu)化“教學(xué)互動(dòng)”的方式，通過(guò)調(diào)節(jié)師生關(guān)系及其相互作用，形成和諧的師生互動(dòng)、生生互動(dòng)、學(xué)習(xí)個(gè)體與教學(xué)中介的互動(dòng)，強(qiáng)化學(xué)生與環(huán)境的交互影響，產(chǎn)生教、學(xué)協(xié)同與共振，從而切實(shí)提高教學(xué)效率。［6］五、數(shù)學(xué)課題探究教學(xué)應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題為了使數(shù)學(xué)課題探究教學(xué)更加有效，教師首先需要更新教育觀，即數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)教育觀和數(shù)學(xué)教學(xué)觀。在數(shù)學(xué)觀方面，要用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)。正如《人人關(guān)心數(shù)學(xué)教育的未來(lái)》中指出的：“數(shù)學(xué)是一門(mén)有待探索的、動(dòng)態(tài)的、進(jìn)化的思維訓(xùn)練，而不是僵化的、絕對(duì)的、封閉的規(guī)則體系，數(shù)學(xué)是一種科學(xué)，而不是一堆原則；數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)，而不僅僅是關(guān)于數(shù)的科學(xué)?！痹跀?shù)學(xué)教育觀方面，數(shù)學(xué)教育不僅是為了學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，還在于根據(jù)本學(xué)科的特點(diǎn)使人們用數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法，去認(rèn)識(shí)自然、社會(huì)，最終達(dá)到培養(yǎng)人，發(fā)展人，從而促進(jìn)整個(gè)人類(lèi)發(fā)展的目的。在數(shù)學(xué)教學(xué)觀方面，為了改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)，面向大眾，教師在課堂教學(xué)的組織形式、課堂練習(xí)的水平，尤其在課堂提問(wèn)的技巧和師生互動(dòng)等方面，應(yīng)多做些研究。此外，教師還要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生，培養(yǎng)與發(fā)展其懷疑、猜測(cè)和實(shí)踐的意識(shí)和能力，因?yàn)橐墒莿?chuàng)新的起始點(diǎn)，猜測(cè)和想象是創(chuàng)新的突破點(diǎn)，行是創(chuàng)新的立足點(diǎn)。在數(shù)學(xué)課題探究教學(xué)時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題。（一）倡導(dǎo)懷疑懷疑是創(chuàng)新的心理動(dòng)力，是思維獨(dú)立性、批判性的體現(xiàn)。數(shù)學(xué)家笛卡兒說(shuō)“懷疑是方法”。比如，在柯西那個(gè)時(shí)代，幾乎所有數(shù)學(xué)家都相信，凡是連續(xù)函數(shù)一定可微（當(dāng)然要除去像y=1x中的x=0那樣的孤立點(diǎn)），可是后來(lái)有一些數(shù)學(xué)家，如德國(guó)的外爾斯特拉斯就不以為然。他專門(mén)構(gòu)造了一個(gè)處處連續(xù)又處處不可微的函數(shù)，于是否定了前人的傳統(tǒng)認(rèn)識(shí)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要大力倡導(dǎo)學(xué)生對(duì)書(shū)本、對(duì)以往的結(jié)論敢于懷疑的精神，勇于提出自己的觀點(diǎn)。（二）鼓勵(lì)猜測(cè)和想象數(shù)學(xué)中的猜測(cè)是根據(jù)已知數(shù)學(xué)條件和數(shù)學(xué)原理對(duì)未知的量及其關(guān)系的似真判斷。這種猜測(cè)富于創(chuàng)造性，能夠提供大量新觀點(diǎn)、新思維、新方法。正如數(shù)學(xué)家徐利治先生在《數(shù)學(xué)方法論選講》中指出的：“數(shù)學(xué)創(chuàng)造往往開(kāi)始于不嚴(yán)格的發(fā)散思維，而繼之以嚴(yán)格的邏輯分析思維，即收斂性思維?！保?］想象是創(chuàng)造的源泉，在某種程度上，沒(méi)有想象就沒(méi)有科學(xué)發(fā)現(xiàn)。愛(ài)因斯坦認(rèn)為：“想象力比知識(shí)更重要，因?yàn)橹R(shí)是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動(dòng)著進(jìn)步，并且是知識(shí)進(jìn)化的源泉?！盵8]（三）引導(dǎo)行動(dòng)“千里之行，始于足下。”有了好的課題與猜想，就要立即行動(dòng)起來(lái)，搜索有關(guān)信息，扎扎實(shí)實(shí)地進(jìn)行探究活動(dòng)。當(dāng)然，這需要學(xué)生有一定的知識(shí)儲(chǔ)備，較強(qiáng)的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，否則，只能是一句空話。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生不輕易放過(guò)某個(gè)看似荒誕、離奇的想法，引導(dǎo)學(xué)生積極探究，舉一反三。授之以魚(yú)，不如授之以漁，教是為了不教，數(shù)學(xué)課題探究教學(xué)可以很好地培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)良的思維品質(zhì)，教會(huì)他們?cè)鯓铀季S。總之，課題探究教學(xué)為學(xué)生提供了一個(gè)自我發(fā)現(xiàn)、自主學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，與傳統(tǒng)的教學(xué)形式相比，它有更為鮮明的特點(diǎn)，值得我們?nèi)パ芯亢吞剿?。參考文獻(xiàn)：［1］中華人民共和國(guó)教育部.基礎(chǔ)教育課程改革綱要（試行）［S］.2001.［2］張華，石偉平，馬慶發(fā).課程流派研究［M］.濟(jì)南：山東教育出版社，2000.134.［3］李森，于澤元.對(duì)探究教學(xué)幾個(gè)理論問(wèn)題的認(rèn)識(shí)［J］.教育研究，2002，（2）：83—88.［4］張慶林.當(dāng)代認(rèn)知心理學(xué)在教學(xué)中的應(yīng)用：如何教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)和思維［M］.重慶：西南師范大學(xué)出版社，1995:67—68.［5］袁振國(guó).教育新理念［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2002.179.［6］查有梁.“交流—互動(dòng)”教學(xué)模式建構(gòu)［J］.課程·教材·教法，2001，21（4）：1—6.［7］徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講［M］.武漢：華中工學(xué)院出版社，1988.182.［8］愛(ài)因斯坦文集［M］.許良英，范岱年，編譯.北京：商務(wù)印書(shū)館，1976.284.