中學教學

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1.理解概念的必要條件

提高數學課的教學質量，要體現在使學生扎實地掌握數學的基礎知識和基本技能、技巧，并且要使學生的能力得到提高、智力得到發展。數學概念是基礎知識的起點，理查德斯根譜指出：“對某個事物的理解，指的是將它同化進入一個適當的schema之中。”這里的schema是圖式、結構的意思。具體地說，理解是在感知的基礎上，通過思維加工，把新學習的內容同化于已有的認識結構中，或者改組擴大原有的認知結構，把新學習的內容包括進去，逐步達到認識事物的本質和規律的一種思維活動。而使學生理解概念必須做到以下幾點：（一）、提供在各種情形下的概念模型或實例。（二）、列舉與概念有關但實質不同的例子，以幫助辨別。（三）、給出與概念無關的例子，以加深認識。避免出現具備概念特性但對概念理解可能會起副作用的例子，以防備干擾。（四）、詞與感性材料的正確結合。（五）、正確下定義。

2.關于概念的概述

概念是反映所研究對象的本質屬性的一種思維形式，概念也是客觀事物的本質屬性在人們頭腦中抽象、概括的反映。而概念的形成過程是從簡單的形式椄芯蹩跡齬淌前湊眨焊芯鯒知覺棻硐髼概念的模式進行的，通過對事物的感性認識，借助于分析、綜合、抽象和概括，才能形成概念。內涵和外延是構成概念的兩個重要的方面。數學概念的內涵是指反映數學對象的本質屬性，外延是數學概念所有對象的總和。有人統計過,現行的中學教材里出現了657個(其中初中有313個,高中有344個)概念，數學的全部內容的展開,都基于這些概念之上,我們完全可以把數學概念稱為數學肌體的”細胞”,如果這些“細胞”不健全,肌體又怎么能夠強壯?所以,加深學生對數學概念的理解,是使學生融會貫通地掌握數學知識,增強能力的前提和關鍵。

3.理解概念和命題的過程和方法導引

中學數學教材，是由許多有關的概念和原理構成的知識體系。概念是它的“知識單元”，原理則是由“知識單元”構成的必然聯系。學生對數學教材的理解，就是要理解教材中的概念、原理及其體系，把新學習的知識與已有的知識聯系起來，充實或擴大原有的數學認知結構，形成新的數學認知結構，從而達到對數學教材的真正理解。

（一）、提供與概念和命題相適應的感性材料

根據學生認知規律，要學生形成準確的概念，其首要的條件，是使學生獲得十分豐富和切合實際的感性材料。當日常概念與科學概念的內涵一致時，起積極影響，不一致時起消極作用。如日常的“鄰居”概念有助于“鄰角”的理解；日常經驗的“垂”則干擾對數學上“垂直”的理解。在教學中，要密切聯系數學概念的現實模型，引導學生分析日常生活和生產實際中常見的事例，觀察有關的實物、圖示、模型，在具有充分的感性認識的基礎上引入概念，為上升到理性的高度準備條件，促使具體到抽象的飛躍，同時，也使抽象的事物變得生動可感，實現抽象到具體的轉化。

（二）、正確揭示數學概念的內涵和外延

概念在人們頭腦的形成，僅是人們對概念認識的開始，對概念認識的深化必須從概念的內涵和外延上作深入的分析。分析概念的內涵就是抓住概念的本質特征。而概念和外延之間有著密切的關系，概念的內涵嚴格地確定了概念的外延，反過來，概念的外延也確定了概念的內涵，因此，概念的內涵有所改變的話，一定導致概念的外延的改變，反過來也一樣。例如擴大“平行四邊形”這個概念的內涵，增加“對角線互相垂直”這一屬性，那么它的外延就縮小了，只剩下菱形和正方形了；如果縮小“平行四邊形”的內涵，只要求有一組對邊平行，它的外延就擴大了，除了平行四邊形外，還有梯形。所以，在教學過程中，應注意在概念的形成過程中，對概念的內涵和外延作透切的分析，對概念進行去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的改造、制作、深化等過程，必須在感性認識的基礎上對概念作辨證的分析，用不同的方式進一步揭示不同概念的本質屬性。

（三）利用變式和對比

比較可在同類事物中進行，這是對一類事物的概括中，區別對象的一般和特殊，本質與非本質的重要條件。比較是在人腦中把各種事物或現象加以對比，來確定它們之間異同點和關系的思維過程。沒有比較就沒有鑒別。本質要素必然是一類事物所共有的，正是從這一點出發，把對象的各要素進行比較，進行區分，從中找出一類事物所共有的本質要素。這種比較在概念的引入、領會階段是很有必要的，有利于明確概念的內涵。只有通過比較，才能真正識別概念，才能把它歸到一定的類別中去。比較還可以在不同類的，但相似、相近或相關的事物中進行，這種比較能使相比客體的本質更加明確，了解彼此之間的聯系與區別，防止知識間的混淆和割裂。另一方面，利用“變式”教學，對幫助學生對概念的理解起到很大的作用。所謂變式是指在直觀中，從不同的角度、方向和方式變換事物非本質的屬性，以便揭示其本質屬性的過程。變式不充分或不正確，往往會產生內涵混淆，外延擴大或縮小的概念錯誤。例如在講解奇函數和偶涵數的概念時，進行下列練習：判斷下列函數的奇偶性，比較其異同。

1.f(x)=+

2.f(x)=+.

3.f(x)=lg(ax+

)

學生一般將（1）、（2）誤判為偶函數，但（1）的定義域為x≠1,且f(x)=0,∵f(－x)=f(x),f(－x)=-f(x)，所以，既是奇函數，又是偶函數。而（2）中x=1，雖然f(x)=0，但不具有關于原點對稱，故為非奇非偶函數。（3）中一般學生誤判為非奇非偶函數，是受思維定勢的影響，不會用分子有理化。為了突破這一難點，可采用下列方法判斷

F(-x)=－f(x)f(-x)＋f(x)=0

奇函數

F(-x)=f(x)f(-x)－f(x)=0

偶函數

解：f(-x)=lg(-ax+

∴f(x)+f(-x)=lg[(ax+)(-ax+)=lg1=0

∴f(-x)=-f(x),而x∈R

∴函數為奇函數。

通過上述問題的對比和變式，一方面，加深了學生對奇函數和偶函數的概念的理解；另一方面可以使學生從“陷阱”中跳出來，增強了刺激和情趣，使學生逐步養成用批判的態度來對待每一個問題的習慣，突破思維定勢負遷移的影響，從而使學生思維的批判性得到發展。

（四）抓住關鍵性的詞、句和符號的分析

在數學中，有的概念敘述簡練，寓意深刻。對這些概念，必須充分揭示概念中的關鍵詞的真實涵義。例如，“或”在我們日常語言中可能有兩種涵義，一種是“可兼的”，一種是“不可兼”的，如符號“≥”，它表示大于或等于，是可兼的，而日常中我們所說的“我去打拳或跳舞，”卻是不可兼的。又如對六個基本三角函數的定義，應抓住其中一個，如正弦函數，可這樣進行分析：正弦函數的值本質上是一個“比值”，它是角α的終邊上任意一點的縱坐標y與這點到原點的距離r的比值，因此，它是一個數值；指出由于≤1，所以這個比值不超過1，這個比值與點在角α的終邊的位置無關，這可用相似三角形的原理

來說明，這個比值的大小隨角α的大小而變化，當α取某個確定值，比值也有唯一的確定值與它對應。如此以函數的概念為線索，從中找出自變量、函數以及對應法則，從而對正弦函數概念的理解就比較深刻了。經過對正弦函數概念的本質屬性分析之后，指出角的終邊上的任意一點p(x,y)一經確定，就涉及x，y，r這三個量，任取其中兩個量組成比值，有且僅有六個。因此，基本三角函數只有六個，從而對三角函數的外延，就揭示得十分清楚了。

（五）正確處理數學概念、數學命題抽象化和具體化的關系

用數學符號來表示數學概念，既是數學的特點，又是數學的優點。由于數學概念本身比較抽象，加上用符號表示，從而使數學概念更抽象化，而概念所反映的客觀主體卻被人們所熟悉，通過對數學概念、數學命題具體化，人們可以進一步認識事物的基本結構、屬性和特征；可以分出事物的表面特征和本質特征，使認識深化，可以分出概念的情景、條件、任務，便于利用概念去解決思維問題。因此，在教學過程中，要正確處理好數學概念、數學命題的抽象化和具體化的關系，首先要注意不要把概念與實際對象脫節，其次要注意不要把概念和符號脫節。例如學生往往把正弦函數的符號“sin”看成一個數，從而得出如下的錯誤等式：sin(α+β)=sinα+sinβ。又如，不考慮反三角函數成立的條件，錯誤地認為：arcsin+arccos=也成立。

（六）、數學知識系統化、從系統中加深理解知識間的聯系

數學的系統性很強，任何一個概念都處在一定的在知識系統中，要掌握概念，必須弄清概念的地位和作用，以及概念之間的內在聯系，要在整體上、全局上把握概念的全貌，通過對所學的概念進行歸納，把新學的概念歸納到原有的知識體系。一方面，有利于對新概念的理解，也有利于舊知識的鞏固和充實，并牢牢地記住，另一方面，有助于對原有的概念的修正，從而形成正確的概念體系。概括是使知識系統化的一個重要方面，在分析的基礎上，人可以對事物進行再分析，這就是事物進行歸納與分類，使其系統化的過程。所謂系統化，就是人腦把一般特征和本質特征相同的事物，分類并歸納到一定類別系統中去的過程。由于有些種屬關系的概念在教材中常常是分散出現的,故應適時地把它們聯系起來,歸納、概括于一個系統中。如學生掌握整數、分數、小數的知識后，可以概括歸納成有理數；當數的概念擴大、學習了無理數（，π等）之后，又可把有理數和無理數概括為實數；掌握了虛數，如（）之后，又可把實數與虛數概括為數，從而掌握系統的數學知識，這就是系統化的過程。只有通過把概念系統化的過程，才能使學生真正掌握概念的使用，加深對概念的理解。