數學設計
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數學課程問題一直是數學教學改革的中心問題，也是數學教育科學研究的中心問題之一。從1958年以來筆者參加了多次數學課程設計、教材編寫、實驗研究，從三十余年的實踐中形成了關于數學課程發展規律的一些認識。影響、制約、決定數學課程發展的因素主要是三個方面：社會、政治、經濟方面的需求，數學發展和教育發展的需求。數學課程的發展決定于這三個方面需求的和諧統一，本文基于《中學數學實驗教材》（以下簡稱《實驗教材》)的實驗著重探討這三者如何和諧統一推動數學課程的發展。
一、我國社會發展對數學課程的要求
促進數學課程發展的眾多動力中，沒有比社會發展這一動力更大的了，社會發展的需要主要包括：社會生產力發展的需要，經濟和科學技術發展的需要和政治方面的要求。
我國社會發展對數學課程提出了以下要求。
（一）目的性
教育必須為社會主義經濟建服務。這就要求數學課程要有明確的目的性，即要為社會主義經濟建設培養各級人才奠定基礎，為提高廣大勞動者的素質做出貢獻。當今社會正由工業社會向信息社會過渡，在信息社會里多數人將從事信息管理和生產工作；社會財富增加要更多地依靠知識；知識更新、技術進步周期和人的職業壽命都在日益縮短，要適應日新月異的社會，必須把勞動者的素質、才能提到極重要的位置，而且要使他們具備終身學習的能力。
（二）實用性
數學課程的內容應具有應用的廣泛性，可以運用于解決社會生產、社會生活以及其他學科中的大量實際問題；運用于訓練人的思維。應該精選現代社會生和生活中廣泛應用的數學知識作為數學課程的內容。另外，還要考慮其他學科對數學的要求。數學課程還應滿足現代科學技術發展的需要，加進其中廣泛應用的數學知識，如計算機初步知識、統計初步知識離散概率空間、二項分布等概率初步知識。
數學不僅是解決實際問題的工具，而且也廣泛用來訓練人的思維，培養有數學素養的社會成員，要使學生懂得數學的價值，對自己的數學能力有信心，有解決數學問題的能力，學會數學交流，學會數學思想方法。
（三）思想性和教育性
我們培養的人應該有理想、有道德、有文化、有紀律、熱愛社會主義祖國和社會主義事業，具有國家興旺發達而艱苦奮斗的精神；應當不斷追求新知、實事求是、獨立思考、勇于創新，具有辯證唯物主義觀點。這就要求數學課程適當介紹中國數學史，以激發學生的民族自豪感。用辯證唯物主義觀點來闡述課程內容，有意識地體現數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辯證唯物主義觀點。體現運動、變化、相互聯系的觀點。
《實驗教材》用“精簡實用”的選材標準來滿足這些要求。
二、數學的發展對數學課程的要求
（一）中學數學課程應當是代數、幾何、分析和概率這四科的基礎部分恰當配合的整體
數學研究對象是現實世界的數量關系和空間形式。基礎數學的對象是數、空間、函數，相應的是代數、幾何、分析等學科，它們是各成體系但又密切聯系的。現代數學中出現了許多綜合性數學分支，都是在它們的基礎上產生并發展起來的，研究的思想方法也是它們的思想方法的綜合運用。代數、幾何、分析在相鄰學科和解決各種實際問題中都有廣泛應用，所以中學數學課程應當是它們恰當配合的整體。曾經出現過的把中學課程代數結構化（如“新數”）的設計方案。“以函數為綱”使中學數學課程分析化的設計方案都不成功，正是沒有滿足這一要求。
（二）適當增加應用數學的內容
應用數學近年來蓬勃發展，出現了許多新的分支和領域，應用范圍也在日益擴大，這種形勢也要求在中學數學課程中有所反映。從“新數運動”開始，各國數學課程內容中陸續增加了概率統計和計算機的初步知識。這一方面說明概率統計和計算機知識在社會生產和社會生活中的廣泛應用，另一方面也說明數學的發展擴大了它的基礎，對中學數學課程提出了新的要求。
由于計算機科學研究的需要，“離散數學”越來越顯得重要。因此，中學數學課程中應當增加離散數學的比重。
（三）系統性
基礎數學，包括代數、幾何、分析到19世紀末都相繼奠定了嚴格的邏輯基礎。到本世紀30年代法國布爾巴基學派用公理化方法，使整個數學結構化。任何一個數學系統都可以歸結為代數結構、序結構和拓撲結構這三種母結構的復合。經過用公理化方法的整理，使數學成為一個邏輯嚴密、系統的整體結構。因此，作為符合數學知識結構要求的中學數學課程就必須具有一定的系統性和邏輯嚴密性。
（四）突出數學思想和數學方法
現代數學進行著不同領域的思想、方法的相互滲透。許多曾經認為沒有任何共同之處的數學分支，現在已建立在共同的統一的思想基礎上了。
數學思想和方法把數學科學聯結成一個統一的有結構的整體。所以，我們應該體現突出數學思想和數學方法。
《實驗教材》以“反璞歸真”的指導思想來滿足數學學科發展的要求。
三、教育、心理學發展對數學課程的要求
教育、心理學的發展，對教學規律和學生的心理規律有了更深入的認識。數學課程的設計要符合學生認知發展的規律。認知發展，要經歷多種水平，多種階段。認知的發展呈現一定的規律。基于這些規律，要求數學課程具有：
（一）可接受性
教學內容、方法都要適合學生的認知發展水平。獲得新的數學知識的過程，主要依賴于數學認知結構中原有的適當概念，通過新舊知識的相互作用，使新舊意義同化，從而形成更為高度同化的數學認知結構的過程，它包括輸入、同化、操作三個階段。因此，作為數學課程內容要同學生已有的數學基礎有密切聯系。其抽象性與概括性不能過低或過高，要處于同級發展水平。這樣才能使數學課程內容被學生理解，被他們接受，才能產生新舊知識有意義的同化作用，改造和分化出新的數學認知結構。
（二）直觀性
皮亞杰的認知發展階段的理論認為，中學生的認知發展水平已由具體運算進入了抽象運算階段，但是即使他們在整體上認知水平已經達到了抽象運算的水平，在每個新數學概念的學習過程中仍然要經歷從具體到抽象的轉化，他們在學習新的數學概念時仍采用具體或直觀的方式去探索新概念。因此，數學課程應向學生提供豐富的直觀背景材料。不拘泥于抽象的形式，著重于向學生提示抽象概念的來龍去脈和其本質。也就是要“反璞歸真”。
（三）啟發性
蘇聯心理學家維果斯基認為兒童心理機能“最近發展區”的水平。表現為發展程序尚未成熟，正處于形成狀態。兒童還不能獨立地解決一定的靠智力解決的任務，但只要有一定的幫助和自己的努力，就有可能完成任務。數學課程的啟發性就在于激發、誘導那些正待成熟的心理機能的發展，不斷地使“最近發展區”的矛盾得到轉化，而進入更高一級的數學認知水平。
要使數學課程真正具有啟發性，需
要克服兩種偏向：第一，內容過于簡單，缺乏思考余地。沒有挑戰性，不能激發學生思維，甚至不能滿足學生學習愿望。第二，內容過于復雜、抽象。超過了學生數學認知結構中“最近發展區”的水平，學生將會由于不能理解它，產生畏懼心理，最后厭惡學習數學。
布魯納曾指出，向成長中的兒童提出難題，激勵他們向下一階段發展，這樣的努力是值得的。在這種思想的指導下，他的數學課程采用螺旋式上升的原則，這是課程內容啟發性的體現。
《實驗教材》用“順理成章、深入淺出”的指導思想來體現以上諸要求。
四、三方面需求的和諧統一
上面分別考查了三個方面對數學課程提出的要求，這些要求有時互為前題，互相補充，而有時卻是彼此矛盾的。這導致了數學課程設計的復雜性和艱巨性。如何才能使這三方面的要求和諧統一呢？從《實驗教材》11年的實驗中形成了16字指導數學課程設計的思想，比較恰當的統一了以上三方面的需求。這16字的指導思想是“精簡實用、反璞歸真、順理成章、深入淺出”。
“精簡實用”是個基本的指導思想，它恰當地表現了理論和實際的正確關系。由實際到理論，就是由繁精簡，把實際中多樣的事物、現象，經過分析、綜合，歸納出簡單而又具有普遍性的道理，這就是理論。而只有精而簡的理論才能用來“以簡馭繁”。所以“精簡實用”在科學上的意義就是要尋求真正具有普遍性、簡明扼要的理論。要做到精簡，必須抓住重點。教材中普遍實用的最基礎部分，那些具有普遍意義的通性、通法就是重點。中學數學課程內容應是代數、幾何、分析和概率這四科的基礎部分恰當配合的整體，這樣做既可滿足社會的需要、數學知識結構的要求，又可滿足可接受性的要求。其中普遍實用的最基礎部分是代數中的數系，最普遍有用的是數系的運算律（“數系通性”）；解代數方程；多項式運算；待定系數法。幾何中的重要內容是教導學生研習演繹法，要點在于讓學生逐步體會空間基本性質的本質與用法。平行四邊形定理、相似三角形定理、勾股定理可以說是歐氏平面幾何的三大支柱，它們也就是把空間結構全面代數化的理論基礎。用向量把幾何學全面代數化，講向量身體、解析幾何及其原理，這些就是幾何課的重點。分析的重要內容除函數、極限、連續等分析學的基本概念之外，變化率是要緊的概念。分析中最基本的方法是逼近法。
“反璞歸真”就是著重于教學生以基礎數學的本質，而不拘泥于抽象的形式。初等代數最基本的思想、最重要的本質就是那些非常簡單的數的運算律，它們是整個代數學的根本所在。把它形式化，也就是多項式的運算和理論。傳統的代數教學從多項式的形式理論開始，學生不解其義，感到枯燥。《實驗教材》反璞歸真，先講代數的基本原理就是靈活運用運算律，首先用以解決一次方程的實際問題，學生自然地覺得應該有一個多項式理論，然后再講多項式，這樣學生易于理解多項式的來源與本質。“這就是反璞歸真”的一個實例。
基本的數學思想與數學方法是基礎數學的本質，突出其教學是把知識教學與能力訓練統一起來的重要一環。把知識看作一個過程，弄清它的來龍去脈，掌握思想脈絡，學生的數學才能才發展起來，要學生“會學”數學，就必須讓學生掌握基本的數學思想和方法，會“數學地”提出問題，思考問題、解決問題。
《實驗教材》一開始就突出了用符號（字母）表示數的基本思想和方法。
集合的思考方法，在幾何和代數中都十分重視。經常訓練學生從考慮具體的數學對象到考慮對象的集合，進而考慮分類等問題。
函數的思考方法，考慮對應，考慮運動的變化、相依關系，由研究狀態過渡到研究過程。分解和組合的方法。對數學問題的分析與綜合、轉化、推廣與限定（一般化與特殊化）、類比、遞推、歸納等基本的數學思想與方法都分別得到強調。
“順理成間”就是要從歷史發展程序和認識規律出發，“順理成間”地設計數學課程。數學是一種演繹體系，有時甚至本末倒置。這正是數學本身的要求和學生心理發展的要求相矛盾的所在。正確處理這個矛盾，使這兩方面的要求和諧統一，課程設計就既不能違背邏輯次序。更要符合認識程序。因此，要參照數學發展歷史，用數學概念的逐步進化演變過程作為明鏡，用基礎數學的層次與脈絡作為依據來設計數學課程。數學的歷史發展經歷過若干重要轉折。學生的認識過程和數學的歷史發展過程（人類認識數學的過程）有一致性。數學教材的設計要著力于采取措施引導學生合乎規律地實現那些重大轉折，使學生的數學學習順理成章地由一個高度發展到另一個新的高度。在基礎數學范圍內，主要經歷過五個大的轉折。
由算術到代數是一個重大的轉折。實現這個轉折，重要的是要向學生講清代數的基本精神是靈活運用運算律謀求問題的統一解法。由實驗幾何到論證幾何是第二個重大轉折。要對空間的基本概念與基本性質加以系統的觀察、分析與實驗，建立“空間通性”的一個明確體系，達到“探源、奠基與啟蒙”三個目的，然后引進集合術語并以集合作工具，講清一些基本邏輯關系、推理格式，再轉入歐幾里得推理幾何。第三個轉折是從定性幾何到定量幾何，即從綜合幾何到解析幾何。要對幾何問題謀求統一解法，出路在代數化，首先要把一個基本幾何量代數化，就得到向量的概念，然后運用歐氏空間特有的平移、相似與勾股定理等基本性質引起向量的加法、倍積與內積這三種向量運算。這樣就把窨的結構轉化為向量和向量運算。這樣就把空間的結構轉化為向量和向量運算這種代數體系，因而空間的基本性質也就轉化成向量運算的運算律。換句話說，向量的運算律也就是代數化的幾何公理。這樣就實現定性幾何到定量幾何的轉折。向量是這個轉折的樞紐。第四個轉折是從常量數學到變量數學，這在概念和方法論方面都有相當大幅度的飛躍，需要早作準備。初中二年級已引入三角函數的初步概念，初三正式研究各種函數，到高一、高二的代數與解析幾何中，就逐步講座到連續性、實數完備性、切線等概念。數列、逼近的思想也早有滲透，到高三進一步突出逼近法研究極限、連續、微分、積分等變量數學問題。第五個轉折是由確定性數學到隨機性數學。在代數之后引起概率論初步。
上述數學課程設計，既遵循歷史發展的規律，又突出了幾個轉折關頭，縮短了認識過程。有利于學生掌握數學思想發展的脈絡，提高數學教學的思想性。
“深入淺出”就是要學到應有的深度，才能淺出。許多事物和現象表面上各不相連，但是把它們提高到適當的高度來看，這些事物和現象就會有一種統一的理論串連其間。因此，如果沒有掌握到這種樞紐性的理論，就無法回頭用理論來統一一系列繁復多樣的實際。所以數學課程的設計要用學生易于接受的形式引導學生去掌握樞紐性的理論。“占領制高點”，才能居高臨下，一目了然。把數學課程搞得淺薄，砍掉具有樞紐地位的基礎理論，把數學課程變成一本支離破碎的流水帳，一來難懂，二來無用，所以深入淺出的要點在于教好那些具有樞紐地位的基礎理論。
《實驗教材》的實驗證明，16監察院指導思想恰當地處理了理論和實際的關系，數學科學與數學學科的關系，數學知識教學與數學能力培養的關系，數學課程完整性與發展性的關系等，充分滿足了三方面的要求，五個轉折都順利地實現了。《實驗教材》內容多、要求高、負擔重，有待進一步精簡。
《實驗教材》的實驗研究取得了效果和經驗。但是數學課程發展的規律、指導發展的理論尚待探索和逐步建立，尚需使用歷史分析的方法，比較研究和實驗研究的多種方法，研究古、今、中、外的數學課程，從中探索出規律，建立數學課程發展的系統理論，以指導今后的數學課程改革和設計的實踐。
再談面向新世紀的數學課程
丁爾升（北京師范大學數學系100875）
義務教育的新數學課程和教材從去年下半年開始已在全國普遍實施和使用。義務教育的數學課程有一個基本精神，就是要從應試教育轉到素質教育，這個轉變涉及到教育思想、教育目標、教學目的、教學內容、教學方法和手段等各個方面。要實現這些轉變，絕不是編輯出版幾套新材料就完事的，何況新教材也只是一個階段性成果，隨著對新世紀挑戰的認識的提高還會有新的改革。所以實施義務教育的新數學課程是一個長期、艱巨的改革過程。今天我不打算全面闡述這個過程，也是我力所不及的，我只想提供一點“參考消息”，看看國外一些人是如何議論迎接新世紀挑戰問題的。我想綜合一些研究成果或有傾向性的預測，描述一下面向新世紀的數學課程。
1、條件的重大變化
我們從分析影響數學課程變革的條件的重大變化開始。
首先，數學的社會需要有很大改變。隨著經濟適應信息時代的需要，每個部門的工作人員——從飯店服務員到秘書，從汽車修理工到旅游人——都必須懂得計算機控制過程。現在大多數職業都要求從業人員具有分析能力而不單純是機械的操作技能，所以絕大多數學生需要更多的數學能力作為普通職業的準備。同樣，在每天的報紙和公眾的政策討論中都廣泛使用圖表、統計數據。為了更有效地參加社會生活不能不要求普通公民具有更高標準的數量意識，市場經濟需要人們掌握更多有用的數學。隨著承包制、股份制、租憑制的進一步推行，市場經濟的逐步完善，無論是城市還是廣大農村，生產者也將成為經營者，因而，成本、利潤、投入、產出、貸款、效益、股份、市場預測、風險評估等一系列經濟詞匯頻繁使用，買與賣、存款與保險、股票與倆券……幾乎每天都會碰到。相應地，與這些經濟活動相關的數學，如比和比例、利息與利率、統計與概率、運籌與優化以及系統分析一決策……就應成為中小學要學的數學了。
科學技術的迅速發展，特別是信息時代的到來，要求人們具有更高的數學修養，現代高技術越來越表現為一種數學技術。高科技的發展、應用，把現代數學以技術化的方式迅速輻射到人們日常生活的各個領域，智能機器人、辦公自動化以及計算機儲蓄、售貨和個人胸等電子產業將高速發展，到下個世紀，理個普通老百姓要是“計算機盲”，將會像現在的文盲一樣不適應現代生活。
生活中需要越來越多的數學語言。各種圖統計圖表，數學符號向各行各業普通老百姓傳遞著大量信息。
其次，數學及其應用有很大變化。最近二三十年數學的性質及其應用的途徑發生了巨大變化。不僅發現了許多新的數學領域而且應用數學的問題類型以空前的速度增長了。當然，最顯著的是計算機的發展和計算機應用的爆炸性的增長。這些計算機應用的絕大多數都要求發展新的數學，在計算機出現以前不可能在這些領域應用的數學，雖不顯著，但同樣重要的是在用廣泛應用性的統一概念聯系起來的幾個主要數學分支中產生的大量思想財富。學生必須學習在這些應用中使用的數學以便掌握數學的威力去解決實際問題。
數學的發展使人們對“數學是什么”的認識有變化。數學是一門科學。觀察、實驗、發現、猜想等數學的實踐部分和任何自然科學是一樣多的。嘗試和錯誤、假說和調研，以及度量和分類是數學家常用的部分技巧，學校應當教。實驗室作業和實習作業對于理解數學是什么及其如何使用不但是適宜而且是必需的。在數學實驗室里計算器和計算機是必需的工具。實際數據（科學實、人口統計、民意測驗等的數據），觀察和度量的對象（骰子、方塊、球）是作圖工具（尺子、細繩、量角器、膠泥、坐標紙）都是必需的。像生物是有機體的科學，物理是物和能的科學一樣，數學是模式的科學。這種表述至少可以回朔到笛卡兒，他把數學稱作“序的科學”，后來物理學家斯梯文·溫伯格（StevenWeinberg）用它去解釋數學預測自然的神奇能力時作了改進。類似地把數學看成“模式與關系”的科學，形成了在《美國大眾科學》(ScienceforAllAmericans)中表述數學的基礎。通過它們的所有表現形式——數、數據、形、序、甚至模式本身來劃分、解釋和描述模式，數學確信科學家遇到的任何模式都可以在某處解釋為數學實踐的組成部分。
模式在數學的每個方面都是明顯的。學生學到算術如何依靠數的規則性；他們能夠看到乘法表中的次序，而且驚奇素數模式中的無次序。多面體的幾何展示了規則性，在自然和建筑中它經常出現。甚至統計這門研究是無序的學科，也依靠把模式展示成估價不確定性的碼尺。數學也是一種交流形式，它是自然語言的補充，所以數學不僅是一門科學，而且數學也是一種語言。不僅是自然所說的語言，而且也是商業、貿易的合適語言。
數學科學現在是自然科學、社會科學和行為科學的基礎。由于計算機和世界范圍的數字式交流的支持，商業和工業都越業越依靠不僅是傳統的而且是現代數學的分析方法。數學可以作商業和科學的語言準確地是因為數學是描述模式的語言。用它的符號和句法、詞匯和成語，數學語言是交流關系和模式的通用工具。它是一種每個人都必須學習使用的語言。如果說數學是模式的科學和語言，那么要學懂數學就是要去研究和表示模式之間的關系：在復雜、模糊的環境中能夠辨明模式；理解并變換模式間的關系；對模式分類、編碼、描述；用模式的語言讀寫；并使用模式的知識運達到各種實際目的。要掌握模式的多樣性，數學課程需要介紹和發展多種不同類型的數學模式。數學要研究的模式不限于算術法則，所以中學數學里研究的模式必須打破人為的限制。一個搞數學的人，他搜集、發現、創造或表達關于模式的事實和思想。數學是一種創造性的、活躍的過程和被動地掌握概念和程序很不相同。事實、公式和信息有多價值只有看它在多大程度上支持有效的數學活動。雖然有些基礎的概念和程序所有學生都必須知識只是是教學應當堅定地強調，學數學是要追求去理解、去交流，而不僅僅是去計算，通過展開模式的基本原理，數學可以使腦子成為處理現實世界問題的有效工具。從這些觀點能夠為下一個世紀導出有效的、能動的中學數學課程。
第三，新技術的作用有很大變化。計算器和計算機已經深刻地改變了數學世界。它們不僅影響到什么數學是重要的，而且也影響到如何做數學，現在袖珍計算器上能夠做幾乎所有幼兒園到兩年制大學教的數學技術，僅只這一事實（巴斯卡的夢在我們這個時代實現了）就必定會大大影響數學課程。雖然學科的最前沿的發展一般不會對早期的教育產生主要影響，但是由計算機和計算器帶來的數學中的變化如此深刻，需要重新調整中學數學中各課題的處理方法和它們之間的平衡。
比如對發展常規計算技能的重視程度應降低，這就會有更多的時間來發展對數學過程的理解和推理能力；易于開發一種課程，可能加強近似計算和估算。一個學生能準確作2507×4131的乘法和能夠說出結果大約是一千萬,哪個更重要些呢?常常一個近似的答案不僅已經足夠,而且比精確答案需要更多的洞察力,而且近似答案可以給精確結果提供快速檢驗;可以開發強調各種數學方法的更廣的課程.
計算器和計算機不僅改變了什么數學重要,而且也改變了數學應當如何教.它們把困難的變得容易,使不可行的變得可行.例如,計算機能夠顯示和操作像三維的形狀復雜的數學對象。使用計算機，學生能夠解決與他們日常生活有關的現實問題和能夠激發他們對數學產生持久的興趣。計算機能把教師解放出來去完成只有教師才能完成的任務。比如和學生一起去探索、猜想。計算機提供了一種動態的、畫圖的手段；它還提供了許多有效的途徑去表達數學思想。新技術使數學更加現實，計算機出現之前，難以完成現實問題所要求的計算，有了計算機計算不再是障礙，只要問題能被學生掌握，就能解出。實驗中得到的現實數據可以得到分析處理。表達重要物理現象的方程可以解出。許多精深的概念用計算機比用其他任何更能做得易理解。
第四，對學生學習的理解有變化。學習不是一種被動地吸取知識，并通過反復練習，強化儲存知識的過程，而是學生原有知識處理每項新的任務，同化新知識，并構建他們自己的意義，再者，一些思想、概念在記憶里不是孤立的，而是有組織的并且和他過去用的自然語言及遇到過的情況相聯系。這種對學習的積極的、構造性的觀點必須在教數學的途徑中反映出來。2、通向未來的轉變
美國數學科學家教育委員會、數學科學家委員會以及2000年數學科學委員會提出的《人人有份》（EverybodyCounts）這份報告中預示這次數學課程改革要實現七個重大的轉變寫道：“為了迎接時代的挑戰，數學教育正要處理幾個困難的轉變，這些轉變將支配本世紀剩下這段時間的改革過程”。這七個轉變可以概括數學教育，特別是數學課程改革的趨向和前景。這七個轉變是：
第一，中學數學的目標應從雙重使命（為多數人的數學很少，為少數人的數學很多）轉變到單一目標：為所有學生提供重要的、共同的核心數學。由于工業社會、信息社會對勞動力的需求是要他們有更高文化修養，所以要給所有學生提供更多的數學教育，所要要發展適合于每個年級所有學生的核心數學課程，即要面向大多數，甚至是所有學生，要大多數公民甚至是全體公民都學好數學；對能力強的學生還要用數學去激勵他們；在教學中用方法和進度而不是用課程目標來區分；選擇普遍有趣的課題和有效的教學方法。
第二，數學教學從“傳授知識”的傳統模式轉變到“以激勵學習為特征的，以學生為中心”的實踐模式，由學生被動聽講的課堂變成學生積極主動參與的像下面這樣的學習環境：鼓勵學生去探索；幫助學生表達自己的數學思想；讓學生看到許多數學問題不只一個正確答案；提供證據，證明數學是生動的，激動人心的；使學生體驗到深入理解和嚴格推理的重要性；使所有學生都建立起能夠學好數學的自信心。
第三，公眾對數學的態度從冷漠和敵意轉到承認數學在今日社會中的重要性。通過現代事件傳送的信息，使公眾認識：期望高的地方，數學要得也多；隨著科學技術作用的增大，數學的重要性也增加；對于有文化的公民發揮作用來說；數學文化同文化一樣重要。
第四，數學教學從熱衷于無數的常規練習轉到發展基礎寬廣的數學能力，學生的數學能力應該要求達到能夠辨明關系、邏輯推理，并能運用各種數學方法去解決廣泛的、多種多樣的非常規問題，要求今天的學生必須能夠：進行心算和有效的估算；知道在某一特定條件下適于使用哪種數學運算；能夠正確、自信和恰當地使用計算器；會估計數量級以確認心算或計算器計算的結果：會使用表、圖、電子數據表(Spreadsheet)和統計技術去組織、解釋和表示數值信息；能判斷別提供的數據的可靠性；會使用計算機軟件去完成數學任務；能從模糊的實際課題中去形成一些特別的問題；會選擇有效解決問題的策略。
第五，數學教學從強調為學習進一步的課程的需要轉到更多地強調學生今天和將來所需要的課題，大多數的數學內容都要在它的運用的情境中來呈現，它的邏輯體系要隨年級的提高慢慢地建立起來。值得更加強調的課題和領域，作為例子，可以舉出：概率，它便于不確定性地說理和對風險的估價；探測數據分析和統計，它便于關于數據的說理；建模，它可以增進對復雜情形的系統的、結構性的理解；運籌學，它便于復雜任務的計劃和行為目標的達成；離散數學，它便于對大多數計算機應用的理解。這些課題和領域將會使觀察和實驗在未來數學大綱中占重要地位，將使數學和其他科目，特別是和自然科學科目更加靠近。
第六，數學教學從原始的紙筆計算轉到使用計算器和計算機，各級數學教師正使他們的教學方法和科目適應于未來的課程。計算器和計算機使得新教學模式成為可行的同時給學習環境注入一種特別的驚異的感覺，它將伴隨數學能力的健康發展。
由于技術發展計算器和計算機的使用方法也要持續地迅速改變。應當使用新技術不是因為它有魅力，而是因通過擴充每個學生的數學能力它通順提高數學學習，計算器和計算機不是去代替用功和嚴密思維，而是用作爭取好成績的武器。
第七，公眾對數學的理解從“隨心所欲的法則的不變教條”轉到“關于模式的嚴格而生動的科學”。數學是一門生動活潑的科目，它尋求蘊藏于周圍世界和我們頭腦中的模式。這個轉變要求課程內容和教學方式兩個方面的變革：尋求解法，不僅是記住步驟；探索模式，不僅是學習公式；形成猜想，不僅是做練習，當教學開始反映這些重點的時候，學生將有機會像這樣去學習數學：作為探索性的、動態的、進展的科目，而不是作為僵死的、絕對的、封閉的一組被記住的定律去學習，學生將被鼓勵去把數學看作一門科學，而不是看作教規，并且認識到：數學是關于模式的科學而不僅是關于數的科學。
3、建立新數學課程的原則
前面已經談到促使數學課程改革的條件變化和改革的方向。把數學看成模式的科學和語言的觀點為新數學課程奠定了基礎，改革仍可采取多種形式，但它應該遵循一些基本原則。美國數學科學教育委員會在《重建中小學數學》（ReshapingSchoolMathematics）一書中提出了六條原則：
原則1：數學教育必須集中于發展數學能力
數學能力使學生理解數學概念和方法并且在各種情況下辨明數學關系。它幫助學生邏輯地推理，解決各種問題，常規的和非常規的問題。數學能力要求學生能夠用數學方法閱讀文獻，能夠用口頭和書面的形式表達數量的和邏輯的分析。
數學能力強的學生能夠在他的職業和日常生活中使用數學。他們將是數學思想的明智使用者，接受或者拒絕表面上有數學論證的主張，他們將會數學地看事情，知道什么時候數學的分析有助于解釋清問題。他們將有充分的數學知識去擇業和進一步學習要求精通數學的學科。
數學能力不包括交流數學的才能。除了知道如何解決問題以外，學生還必須會閱讀并理解數學課本并且會口頭和書面地把數學研究和問題解決的結果向別人表達。所以，數學課程必須提供適當的情境，讓學生能夠學習讀數學、寫數學、說數學。
原則2：數學課程從始至終都應當使用計算器和計算機
學生只有把數學看成配稱現代的科目才能獲得數學能力。新課程教材必須設計得能從科學技術的進一步發展預期不斷改革。在數學中，不積極參與數學的交際活動過程（猜想與爭論、探索和推理、問題提出和解決、計算和檢驗），一般不可能達到理解。計算器功能像“快筆”，所以能夠使數學過程比用紙筆更有用、更有效率。同樣，計算機能使學生算得快、畫得快，快速地模似過程，使用其他任何手段是難以作到的。所以使用計算器和計算機的教學比傳統教學更有潛力，更能使學生獲得深刻的理解。
原則3：恰當的應用應當是課程有的機組成部分
學生需要在自然地產生數學思想的情境——從簡單的計算和度量到商業和科學中的應用——中體驗數學思想。計算器和計算機使得在課程中能夠引進實際應用。
一項應用是否恰當重要的標準是看它是否能引起學生興趣。是否是激發他們的數學思維，有吸引力的應用應當取自兒童生活的世界，取自社會事件，或課程的其他部分，不僅取自自然科學，也要取自商業、地理、藝術和其他科目。
教學的基本目的應當是讓學生學會在反映實際應用的情境中使用數學工具。數學思想總是應當在有意義的數學活動的情境中呈現和發展。
原則4：課程的每一部分都應當由其本身的價值來證明其必要性。
數學提供了如此豐富、大量有趣、有用的思想，以至難以挑選。然而，課程中不能僅僅因為現在已經有了的概念或技能就應當保留。雖然在現在的課程中有許多是有效的，但是我們不能再把“課程中已經有了”作為這個課題應當保留的主要理由。我們需要“從零開始”，沒有一個思想不作仔細考查。
修訂課程不應當只是增加更多的課題，而是確立重點，有些重點應當取消，有消增加，有些保留。甚至對于確實要保留的重要重點，現代應用或現代技術可以作十分不同的處理。常常一種新穎的處理方法可以避免阻止必要改革的思想僵化。原則5：課程的選材應當和中小學數學的現代化標準相一致。
新的“中小學數學課程和評價標準（NCTM，1989）提供了一類課程標準的范例，應當用來作評定中小學數學課題的價值的標準。課程的選材應當和這些課程標準相一致，改革的步子如此巨大，甚至現在的課程指南未適應明天的需要。課程改革要求持續地努力，植限于學校的現實，目標堅定地指向未來。
原則6：各級的數學教學都應當促進學生積極參與
恰當使用新技術要求有新的數學教學方法，使學生成為更積極的學習者。除了使用新技術之外，關于學生如何學習的研究提出了更多教數學的有效方法。數學教學必須適應這兩方面的發展，大多數的數學教學不再適于傳統的老師教學生被動地聽的模式。
沒有單獨的一種教學方法。也沒有單獨的一類學習經驗能夠發展各種數學能力。需要的是各種活動，包括學生之間的討論，實習作業，重要技術的實踐。問題解決，日常的應用，調研工作，以及教師講解。
教師應當是催化劑，他幫助學生學會自己思考，他們不應當只扮演教育者，其作用只是告訴學生“正確方法”。此外，課堂活動應當給學生提供充分的機會用書面和口頭的數學語言彼此交流。
一個有用的比喻是，教師是一個明智的輔導員，不同的時間，要求教師充當以下不同角色：
模特兒角色，他不僅演示正確途徑，而且也演示錯誤的開端和高級思維技能，引導去解決問題；顧問，他幫助個人、小組、全班決定他們的工作是否保持了主題，進展得是否合理；
仲裁人，他提出總是讓學生考慮，但把決定留給全班去做；
對話者，他支持學生在班上發表意見，鼓勵他們靠自己的活動去做出反應，靠自己去探索數學；
詢問者，他鞭策學生弄清他們做什么才是合理的、有目的的，使學生確信他們能夠捍衛自己的結論。（未完，待續）
4、新數學課程目的
數學教學有幾個非常不同的目的，它們是數學在社會中的作用的反映。它們是：
實用目的：幫助個人解決日常生活問題。
公民目的：使公民能夠明智地參加公民事務。
職業目的：為學生找工作、就業、或學業備作準備。
文化目的：傳遞人類文化的主要因素。
為達到這些目的所必需的數學知識在二十世紀已有了巨大變化。以后還將比以前變得更快。前面在討論條件的重要變化時已涉及，這里不再贅述。
這里要談的目的是前面的一般原則的具體化。它們可以為新的數學課程提供一個構造性的框架。
第一，小學數學的基本目的是發展數的意識(NumberSense)
學生用數值住處去有效地說理的能力要求有以下的體驗：
表達——用數表達數量和數量關系的能力。
操作——熟練一位新的算術；決定適當的算術程序的能力；熟練估算；選擇適當方法進行復雜計算的經驗。
解釋——從數據中抽取結論的能力和為了準確性和合理性去檢驗數據和結論的能力。
小學教學應當使用具體材料、計算機軟件和計算器。應當強調心算，特別是估算多位數計算和結果，同時應當大大削減教多位數、分數和小數的傳統筆算方法的時間。用這種觀點處理算術的小學課程將同今天教的普通算術顯著不同。今天的小學數學的中心任務是發展整數、分數、小數的各種運算的手工技巧。要根本改革教學，不再強調這些課題，而增加說理、發現模式、辨明正確程序以及抽取結論的機會，這樣安排著重點的小學數學課程會使數量推理的水準獲得驚人的進步。第二，小學數學應當為數學打好一切方面的基礎
如果學生為就業和日常生活作更好的數學準備，小學數學就必須包括比算術更多的科目：
幾何，包含二維、三維對象的性質，對稱和全等，幾何圖形的作圖和幾何圖形的變換；
度量，包括度量單位，報時，量溫，算錢；
數據分析，包括搜集、整理、表示和解釋數據；制作統計圖表；以及用數據去作分析和預測；
概率，介紹簡單實驗和數據搜集；
離散數學，包括基礎組合思想和用圖作問題模型。
每個這樣的課題都能夠起到使小學數學課程更有趣、更適合學生的顯著作用。幾何提供了看物理世界的明顯窗戶，現在通過計算機畫圖更提高了明顯程度，在數學里和在生活中一樣，一
圖值千言，度量即使很年輕的兒童也能提供有意義的應用。并加強數的概念。數據分析提供了有趣、合適的問題的源泉，概率也如此，它還能和熟悉的游戲聯系。代數的一些概念能把學生引向簡單的抽象，而離散數學提供一些課題，使數學能與許多領域聯系，特別是和計算機聯系。另外，教學應當是綜合的，使得不同領域間的關系得以領悟和加強。比如，教師應當加強算術在幾何和概率中的應用，以及幾何概念在數據表示中的使用。
第三，在一切教學和評估中都應當使用計算器
計算器在學校數學中從幼兒園開始就應當作為設備使用。兒童用來發現數的關系和解決問題。把大多數紙筆計算訓練換成用計算器的教學本身不是萬應藥。不動腦子的訓練用紙筆和用計算器是一樣的，但是用計算器可以讓學生進行加強發現和探索的活動。用紙筆計算是作不到的。
學會什么時候如何使用加減乘除對學生總是重要的。但是標準算法的反復訓練并不顯然會導致理解。數學教師必須利用計算器教學的好處作為工具去幫助學生獲得理解。
第四，學生應當使用現實事物和現實數據學習數學
觀察對數學和對科學一樣是基本的。兒童學習數數和算術時需要擺弄現實的東西。學習數學的兒童要發展長度、面積、體積和形狀的正確直覺必須畫、切、折、注、量。
各年齡段的學生都必須經常探索學校數學中學到的比較原始的模式間和紊亂的現實世界實際資料數據間的關系。現實數據比編造的更可信，搜集數據的行為，不管是測量的、數出的、民意測驗的、實驗的，不是計算機模擬的數據，可以豐富兒童的學習活動。而且度量出的數據和計算出的數據之間，即實驗的和理論的數據之間的不可避免的交流會獲得數學的完整科學。第五，中學數學應當強調實踐的數學能力
如果說教學是要給學生數學能力，那么在各年級都必須始終強調問題解決。學生需要領會比教材本身更多的數學。事實上，推理訓練能使他們接觸并解決日益增加難度和復雜程度的問題。在整個課程中重要的是強調問題而不僅是練習。
擴充小學數學課程有個重要涵義是進入中學數學。中學各年級不應當看成鞏固的時間或者暫停歇息的時間，而應看成兒童的數學發展的基本部分。中心應當是日常生活的數學，一個富有激發性的主題，它會自然地導出許多重要的數學課題（如數據分析、幾何度量、利率、與電子數據表分析(Spreadsheetanalysis)。理解小學數學的概念對學習中學數學是根本的；然而，手算的熟練程度不應當再作為評定學生為進一步學習的準備程度的標準。
第六，學校數學與其他科目應當相互加強
數學發展的動因許多與科學有關，在學校里數學和它的任何應用之間不有可貴的純樸的聯系。數學的應用已經遠遠超越了自然科學，擴展到事業、社會科學、地理、和各種職業及商貿領域。兒童能夠在探索的情境中學到很多數學。高中學生需要在自己的數學課上體驗應用。同樣在其他課上使用數學。
因為數學是科學的語言和模式的科學，數學和科學之間的特殊聯系遠比理論和應用之間的聯系多。數學探究的方法和科學方法都集中注意探索、調研、猜想、證明、推理。科學與數學之間的學校這條紐帶應當特別幫助加強學生對這兩個領域的掌握。
第七，中學數學課程的主要目的應當是發展符號意識(SymbolSense)
小學過渡到中學特征是從具體對象轉到抽象符號。發展順暢使用符號和其他抽象名稱（可能是幾何的、代數的、或算法的）的能力必須是中學數學的中心目的，學生有效使用符號去推理的能力要求有以下的體驗：
表達——用符號形式表達數學問題并在關系、式子、和方程中使用這些符號表達式的能力；操作——確定適當的符號程序和選擇適當的方法解決用符號形式表達的問題的能力；
解釋——用符號系統推理得出結論并檢驗這些結果的準確性和合理性的能力。
當然計算器和計算機在發展符號意識中起著重要作用。因為強有力的計算器將恰像影響算術如何做一樣深刻影響符號操作。在中學目前強調操作技能需要改成大大強調理解和問題解決。新技術對中學課程的影響無疑將是發展高經軟件使學生能夠去發現模式而不僅僅是符號操作。
第八，中學數學應當引進整套數學科學
中學數學必須為就業、升學和作公民給學生作好準備，要達到這些目標，課程性質包括充分反映數學科學威力的廣泛的課題：
代數，包括一般算法和各類函數（多項式函數，三角函數，指數函數，對數函數）。
幾何，包括變換幾何、向量幾何、立體幾何和解析幾何。
數據分析，包括不確定性的度量、概率和抽樣分布、以及推理論證。
離散數學，包括組合論、圖論、遞推關系、遞歸——都要強調算法思想。
最優化，包括數學建模，“如果……會怎樣”（Whatif）分析、系統思想和網絡流程圖(Networkflows)。
強調計算機條件下的一般算法會使代數和三角更有趣。盡管幾何作為一個科目有使人厭煩的壞名聲，但是由于它的與物理世界的聯系，它總是一門有很大興趣的科目。數據分析與離散數學和最優化一樣能夠很容易同有趣的、有意義的應用聯系。
數學教學中重要的是闡明這門科目的統一性和完整性。例如，分形幾何(Fractalgeometry)高中學生是十分能夠接受的并且包含代數、幾何和離散數學的一些方面。還提供了計算機的誘人使用。數據分析直接導致代數和幾何方法，而代數和幾何本身又結合成解析幾何。這些把一個課題和其他課題聯系起來的紐帶常常和這些課題本身一樣重要。
第九，學生應當領悟，在數學中推理得真理的標準
學會理解和建立邏輯的、首尾一貫的數學誰是學校數學的主要目的，然而，歐幾里得幾何不是教學生推理的唯一載體，代數和離散數學都為誰提供了很好的機會；甚至流程圖和電子數據表也能用來說明數學論證的邏輯性質。
比熟練形式證明更加重要的是從各種基本例子中理解數學真理是邏輯的不單純是經驗的。少年兒童能夠從算術的基本經驗中發展邏輯意識。一旦理解了符號，許多基本思想就可以證明，常常可以用各種方法來證明。代數結果的幾何證明（例如，畢達哥拉斯公式用重組正方形的方法展示）常常特別使學生信服。
第十，所有學生在校期間每年都應當學習數學
數學應當在所有學生而不僅是升學的教育中發揮重要作用。核心的中學數學對所有學生基本上應當是一樣的，盡管表述的深度上可以不同。核心以外的擴充自然是不同的，要估計到學生的不同志向和可能的進一步教育。學生能夠學會去應用數學。他們的確常常能夠在與數學有聯系的學科（如自然科學、地理、商業）中學到新的數學。數學和語文一樣是一門應
當“跨課程”來教的科目。
5、新數學課程設計中的幾個問題第一，關于教學內容
60年代“新數”運動后，中學數學教學內容包含了代數、幾何、分析加上一點在力學上的應用、統計和概率。1986年在討論“九十年代學校數學”的ICMIKuwoait會上把代數看作仍然“在中學課程中占中心的重要地位”，“然而，重要的事情濁讓學生掌握操作技能（如多項式運算）而是教學生把代數看作解決問題的自然工具”。有的國家取消了歐氏幾何，感到后悔，因為“大量從事科技工作的人需要掌握非常嚴格的邏輯性或數學性的陳述”。沒有取消的仍然堅持，因為幾何有利于激發學生的學習動機，為以后的學習和工作作準備。Kuwoait會建議的課程內容，改革以微積分占優勢的狀況，引進與計算機科學有關聯的離散數學的概念，此外，還包括了那些由于有了計算機而可能搬上課堂的內容，如數據分析，這些都是計算機發展帶來的影響。這里再補充三點：一是算法得到重新強調，并且要比較解決同一問題的不同算法的效率；二是符號操作；三是離散數學，對于程序設計的價值的看法有分歧，一方面看到，在填寫程序中許多是純技術性的工作；另一方面，有一些重要的研究表明，在程序設計中的認知活動可以起到概念化的輔助作用，這個問題需要通過實驗研究來解決。
教學內容中的另一個問題是“為大眾的數學”的研究。60年代的“新數”主要是為了加強“中小學數學”與“高等數學”之間的聯系；現在在大力研究中把中小學數學同“民族數學”聯系起來，搞面向大眾的“為大眾的數學”的運動。這個運動從1984年到現在已經十年了，要回答的一個主要問題是“數學是否應該保持在為大眾的中小學課程中的核心地位？”可能有四種選擇：一是否定回答，對每個人不能都教“純數學”；二是肯定回答，但必須設計好；三是肯定回答，但未必所有人都學懂；四也是肯定回答，但要設計區分的課程，對不同水平的學生區別對待。前面講的七個轉變中認為目標不能降低，可以通過教法和進度來區別。第二，關于課程的結構
課程改革不僅是內容問題，還有課程的結構問題，即要回答“如何構建課程才能不僅易學，而且符合教學目標？”只學“結果”呢，不是要學“過程？”現在強調學習“知識何來”，也就是學“過程”。數學課程應該以數學過程為基礎，而不是像現在這樣以學科內容為基礎來重新編制。數學是一組過程。學校的任務是幫助學生去“數學化”，那么，不僅是確定哪些數學課題對于中學生是必不可少的，而且重要的任務是選擇哪些過程可能會更好地為提高公民素質服務，以及什么學校實踐可能幫助學生學習這些過程。
在一個計算機化的社會里，這些過程應包括：比較、分類、排序、抽象、符號化、一般化、…等等，所有這些都可以歸入“數學化”這個術語之中，如何才能發展數學化的功能呢？“過程”能夠作為數學課程建構的實際可能的基礎嗎？等等仍然是研究的課題。
第三，重視數學的應用
近年來，對于“應用”，對于使數學教學“貼近”實際，對于“數學模型”的教學，已經有許多談論，事實上，數學教學歷史上總是具有很強的職業的成份；只能隨著中學和大學的學院化，數學和現實的聯系才被忽視，但是教“應用”和使用“現實生活”例子的問題仍有待研究。“應用”在數學教學中可以有許多解釋，有些人為的非現實生活的例子，也可能有重要的教育價值，也可能養成學生應用數學的技能，不能一概否定，還有一類傳統的例子是過份“現實”的，是直接從職業中拿出來的，如薄記、稅收、聯系特殊地方工業的數學，如“三機一泵”這樣的現實例子，這就有一個“誰的現實”的問題。這些例子只是社會的一些特殊需要，不足取。…就算排除了這類實例，還會有多種形式體現“應用”。比如，“守門員如何站位才能縮小對手的射角？”、“攻球員應當把球帶到離球門多遠處，他的射球位置能取得最大射角？”這些問題把數學與實際情境聯系在一起，對有些學生有吸引力，但并不是真用數學解決問題，沒有哪個球員會這樣去計算他們站立的位置，數學的應用主要不在于這樣的“應用”。更重要的是，這種“聯系”不可能總是結合學生“實際的”，正如Carson說的，“現實是主體和時間的函數，對我是現實的，對別人未必是現實的；在過去是現實的，現在不一定再是現實的了。”可見要使課程有“應用”性是既復雜、又長期的問題。
前面說的都是用來為數學教學服務的“現實”例子，當數學用來為現實服務時，情況就完全不同了，它是完全不同的一類例子，它是用數學去描述、理解和解決學生熟悉的社會現實問題，這種問題不僅有社會意義，而且不局限于數學一科，不要用到學生多方面的知識。加強實際應用，是教育傳統中長期持續的工作，1918年Kilpatrick講的“在社會環境中有目的的活動”運用“設計”、“興趣中心”來激發學習動機，即所謂“設計教學”法，這是老例子，但也有一些新例子。
現在有一種愿望：在中小學引進跨學科的，以社會為基礎的設計工作，在這種設計工作中，學生會看到數學如何才能夠應用到真正的“現實生活”問題上去，并且可望獲得進一步學習的動力，會自然地產生建立“數學模型”的機會，實際上關于數學建模的學習包括了各種水平的活動。現在有必要研究許多模型，明確“數學建模”的確切意圖。2000年的一個重大挑戰不僅是提供在學校能夠學的應用的實例，而且是更深入地研究各種類型應用的教育目的和正確性，所以學生如何運用數學必定是九十年代一個主要目標。這里有三種可能的選擇：第一，在數學課內的應用，這種應用可以直接引起動機，要求學生具有數學以外的知識；第二，數學應用于其他課內；第三，數學應用于跨學科的設計（項目）中，這項工作在未來的年代中是值得認真探討的開發性的工作。
第四，關于問題解決
問題解決是數學教育改革的熱門話題，范圍也在日益擴大，日本已把問題解決納入指導要領（教學大綱）。美國的課程標準。仍把問題解決作為“一切數學活動的組成部分，應當成為數學課程的核心”，整個數學課程要圍繞問題解決展開。英國也是把問題解決作為一種教學模式、數學教學的指導思想來對待的。而對文化壓力的增長和新技術的挑戰更加顯得問題解決的重要。認為要通過教育中的更大的問題解決的方法去開發學生的智力。來回答迅猛的技術革命的問題，這里的原則是：如果我們不能預測明天需要什么，那么最好的回答是用思想武器武裝下一代去面對的新的挑戰。當然不能低估實現這種措施的困難。和60年代的“新數”不同，“新數”至少有大學訓練的教師是了解其內容的，而問題解決除了少數人外，對絕大多數人都是全新的。荷蘭在1981-1985年間為文科開發了一套新的16-19歲的數學課程，對數學作了現實主義的處理。現實世界的問題在把它們數學化之前，先直觀地考察，進行數學化，變成數學問題加以解決。這和“新數”的結構主義的處理恰成鮮明對照。
有些建議，通過數學建模把更多的問題解決因素引進高中數學：
“我們確實要學生能夠把他們的數學技能用到實踐中去，而且只有通過活躍的問題解決他們才能做到這一點，問題可以是現實的或者純數學的，統一它們的是，它們給學生以機會去：應用他們的數學技能；小組活動；表現創造性、想像力、革新精神、批判性；激勵進一步的數學學習。
