數學機械化教學管理
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【內容提要】吳文俊是中國少數幾位有國際聲譽和重要影響的數學家之一。本文簡短地介紹吳文俊不平坦的學術經歷，著重論述他在拓撲學及數學機械化的學術成就及影響。
【關鍵詞】吳文俊/拓撲學/數學機械化/中國數學史/對策論
【正文】
吳文俊是少數幾位有國際聲譽和重大影響的中國數學家之一，不過在國內，他似乎一直默默無聞。2001年2月，國內首屆“國家科學技術獎”頒發給吳文俊和袁隆平時，袁隆平和他的雜交水稻早已名滿天下，而記者在爭相報導吳文俊時，卻發現原始材料少得可憐。其實，吳文俊獲大獎，這已經不是第一次，而是第八次了。國際、國內的大獎只是向公眾和媒體傳達了一個信息，吳文俊的工作很重要，但是，判斷吳文俊的工作有多重要，還是要看行家的評判。吳文俊獲得第一個大獎是1956年中國頒發的首屆國家自然科學獎一等獎。當時獲一等獎的只有三人，華羅庚、錢學森、吳文俊。華、錢的大名在當時已經屢屢見諸報端，他們獲獎的確在意料之中，可是吳文俊的名字有多少人知道呢？而且他獲獎的工作“示性類和示嵌點的研究”對于大多數數學家來說，至今也還是說不清道不明，更不用說一般平民百姓了。吳文俊在國內雖然名氣不大，但在當時國際數學界，尤其是領頭人物當中，卻非常知名。美國著名數學家、國際數學聯盟第一屆主席斯通(M.stone,1903-1989)在1961年的文章中講到新中國的數學時，寫下這樣一段話：雖然從整體上講，中國人的貢獻在數學界影響不是很大，但“少數大陸中國人被公認為天才而有成就的數學家，他們最近的貢獻被高度評價。做為例子可以舉出，吳文俊引進的新拓撲不變量，以及華羅庚對許多復變函數論的研究。[9]真是英雄所見略同，恰巧是斯通舉的兩位在五年前獲得數學方面兩個一等獎。
當然，不管大獎小獎都會有給的不合適的地方，諾貝爾獎也有幾位是有問題的。但是，歷史是無情的，科學上只有那些推動歷史前進的貢獻才是頂尖的、站得住腳的。達到這種水平的貢獻也必然受到大科學家的關注。從1954年到1970年，每屆都有拓撲學家獲得菲爾茲獎，而獲獎的大數學家道姆(R.Thom)、米爾諾(J.Milmor)阿蒂亞(M.Atiyah)、斯梅爾(S.Smale)等人都在他們的主要論文中引用過吳文俊的工作。獲得首屆沃爾夫獎的蓋爾范得(I.Gelfand)在1956年吳去蘇聯時，就主動關注吳的工作，其他東歐國家也都知道吳工作的份量。說到底，吳文俊拓撲學的工作在當時已經毫不含糊地是國際領先的，而不是我們現在常常講的要在幾年內趕超國際水平。吳文俊這方面的工作已成世界數學寶庫中的經典，他1950年的論文到2001年還有人在引用！
如果說，拓撲學說到底是西方人的獨創，吳文俊只是大大發展它，那么吳文俊的數學機械化則是完全他從研究中國數學史而產生的思想，是中國人自己的獨創，它走上一條與西方迥然不同的道路。這條道路顯示出吳文俊特立獨行的風格，它成果累累，也得到許多客觀的西方數學家的承認，正因為如此，吳文俊榮獲了厄布朗(J.Herbrand)獎，而這個獎本來是獎給數理邏輯方面的杰出研究的。
一、坎坷的數學之路
吳文俊走上數學之路并不是一帆風順的。幸運的是，他受到家庭有益的影響。吳出生在一個知識分子家庭，父親吳福同出生在19世紀末，當時正逢甲午戰敗，各界人士都積極思考如何救亡圖存、振興中國的問題。百日維新雖然失敗，西學東漸之勢已勢不可擋，上海處于門戶開放之地，得風氣之先，新學堂紛紛上馬。交通大學的前身——南洋公學就是在1896年成立的，一開始還沒有小學部、中學部，吳文俊的父親就是在這里接受新式教育，特別是打下英語的基礎，當時上海是科學的中心，也是出版業的集中之地，吳福同從高中畢業以后，就在一家醫藥書籍出版社從事編譯工作，而且，有時還兼報刊的編輯工作。在當時，這種職業要求有較高的工作能力和業務水平，有時要比老板掙的還多。正是由于吳文俊的父親有穩定的工作和收入。盡管不太富裕，但生活總是有保障，衣食無缺。吳先生回憶起來說，他受到父親很大的影響。正是由于生活有基本保障，他才能在家庭的支持下去搞一些自己感興趣的東西，則不必為生活擔憂。他的父親也鼓勵他努力學習，積極進取。家庭條件也對他起著潛移默化的作用。父親的大量藏書使他從小就養成閱讀的習慣，小學時，已經讀過許多歷史和文學作品，在小學的時候，已經喜歡看《儒林外史》和《官場現形記》，這對他不喜歡“學而優則仕”以及官場作風有一定影響。他也讀過《胡適文存》之類的書，表明那時已經有一定的思想水平。
相對而言，吳文俊的小學和初中教育比較一般，按部就班。數學是一種在少年時代就顯示出興趣和才能的課程，但是，吳文俊在小學和初中期間，并沒有顯出對數學的偏愛。很長時間，他只是對物理感興趣。按照他自己的選擇，他也許選擇物理而不是數學。少年時期他只是讀那些自己感興趣的書，他的基礎應該說，是高中打下的。
高中時期對青年人的成長至關重要，對吳文俊也不例外。他說，在高中階段，他打下了數學的基礎，同樣，英文也是這個時期才達到自由運用的境地。
在初中，吳文俊學習數學并不困難，但還談不上主動，而在高中，學習數學已經變成一件十分有趣、十分主動的事，這時成績優秀自不在話下，他學的東西遠遠超出課內所要求的，而這才是真正意義下的學數學。
事情來自高中一位幾何教師，是位福建人，也許是因為口音或是因為教學無法，很不受學生歡迎。不知什么原因，他看上吳文俊，就要求他把課外書上的習題做一遍。這些遠遠超出課堂要求的，但是卻吸引吳文俊冥思苦想。平面幾何要求學生有非凡的創造力，它需要奇思妙想，也許正是這個把學生分成兩半，多數人應付，而少數學生越解題越有興趣，一發而不可收。吳文俊就屬于后者，越難越吊起胃口，非解出不可。這往往是走向數學的第一步，通過巧招解出一道難題的喜悅是一般人體會不到的，它同時也推動人向更高峰攀登。
不過，他的興趣始終在物理方面。一個偶然的因素才使他走向數學。在吳文俊高中畢業那年，學校提出要設立三個獎學金，資助三名尖子生上大學，但是由于學校指定大學及系科去報考。學校指定吳文俊報考交通大學數學系。當時學費昂貴，沒有獎學金，普通家庭一般負擔不起，因此，吳文俊就這樣走上學數學的道路。
交通大學是我國著名的高等學府，尤其以工科著名。吳文俊于1936年入學，正是交通大學解放前最輝煌的時期。這一年在學人數達到創紀錄的710人。但是，1937年緊隨著盧溝橋事變之后，日寇入侵并占領上海，交通大學遷往內地，留下來的遷往租界上課，學習生活很不穩定，有時三、四年級在一起上課。
長期以來，大學數學課沒有什么變化。一年級是同物理系、化學系學生一起上，主要是微積分，除此之外，也要學國文、英文、中國通史，也要學普通物理、普通化學，還要一起做實驗課，這對不喜歡動手的吳文俊是個難關，免不了要出差錯。使他比較受益的是德語，大學的學習使他打下閱讀德語書的基礎，這對他后來的發展很有好處。到了二年級，有些老師講課照本宣科，讓學生不知所云。教材也偏重計算而少理論，文俊越發感到索然無味，甚至產生輟學不念的想法。
本來已經對數學感到厭倦的吳文俊，在大學三年級，聽了武崇林所講的實變函數論的課，對數學特別是實變函數論產生莫大的興趣，這成為他的數學生涯的一大轉機。
如果說，大學一、二年級的數學學得都是19世紀中期以前的經典數學，那么現代數學則是從20世紀初由幾位法國數學家建立的實變函數論開始。實變函數論的基礎是勒貝格(H.Lebesgue)等人建立的測度論，而測度論的基礎是康托爾(G.Cantor)只手建立的無窮集合論。所謂現代數學可以說很大程度是建立在這個集合論的基礎之上的。正是集合論—測度論—實變函數論指向現代數學的康莊大道。而19世紀中之前的經典數學是無法到達這種境界的。
“師傅領進門，修行在個人”。如果吳文俊只是按部就班的聽課，作習題，那是根本無法打下現代數學基礎的。吳文俊的方法可以說是完全靠自學。
吳文俊一旦對這個方向產生興趣之后，在課下就廢寢忘食地攻讀經典著作。當時，求知欲旺盛，吸收力強，很快就打下堅實的基礎。在有了實變函數論的基礎之上，很快進入康托爾的集合論，然后進而鉆研點集拓撲。20世紀初正是點集拓撲學的黃金時代，出版一系列經典名著，最著名的有德國數學家豪斯道夫(F.Hausdorff)的《集論大綱》，至今這還是一本經典，后來的發展都來源于此。此外還有德國數學家舍恩夫利斯的著作以及英國數學家楊格(W.H.Young)的《集合論》。這些書吳文俊都精心鉆研過。
有了這些基礎后，吳文俊更擴大戰果，一直打到點集拓撲的前沿。在這方面，波蘭成了這個領域的領頭羊。20世紀第一次世界大戰和第二次世界大戰之間的短暫時期，波蘭的數學突飛猛進，產生出許多國際水平的大數學家，在數理邏輯、點集拓撲、泛函分析、測度論、概率論、調和分析等領域做出決定性的貢獻。這些學科的基礎大都是點集拓撲。為此，波蘭人創辦一所國際性的數學雜志《數學基礎》，專門登載上述領域的原創論文。這些論文可以說代表這個領域的最高水平。吳文俊正是通過一篇一篇閱讀這些論文而到達當時數學前沿，而這通過大學教育是根本無法達到的。
1940年暑期，吳文俊從交大數學系畢業。在那時，數學系畢業基本上沒有什么出路，只有教中學。而且又是日本占領時期，對于絕大多數中國人來說，是一個十分艱苦的黑暗時期。對于吳文俊尤其如此。大學畢業正好是美好的青春時期，大學最后兩年也確定了自己的生活方向和道路。但是在國家淪亡、山河破碎的現實面前，個人的理想真可謂微不足道。實際生活的困難首先讓人想到的就是養家糊口，而要找到一個掙錢的差使并不容易。經過朋友介紹，他到一家中學——育英中學教書。在教中學的職位上，他深深感到中學教師生活的清貧和艱辛。他們一周要上20幾節課，收入十分微薄，為了保住飯碗，工作非常認真負責。在這方面，吳文俊也不例外。但是吳文俊還有更大的問題，他較為害羞，不擅長講課，因此他教的課時不足，這樣，他就必須兼做教務員，那是十分繁瑣的事務性工作，而且要從早到晚盯在那里坐班。這對一位要成為數學家的人來說，不啻是時間與生命的巨大浪費。江澤涵先生曾談過，大學畢業后，干兩年中學教員，那就什么都揀不回來了，而這樣的事，吳文俊整整干了五年。
二、大轉折(1945-1947)
1945年8月15日，日本宣布無條件投降。飽經劫難的中國人民，終于結束了這個最野蠻、最兇殘的帝國主義長達14年之久的欺辱和蹂躪，迎來了最后的勝利。世界的歷史發生了重大的轉折，從此，“戰前”和“戰后”再也不能等量齊觀了。
原來在淪陷區交通大學的教職員工成立上海臨時大學，恢復正常的教學秩序。這時，吳文俊開始走上大學的講堂，開始了一生至關重要的轉折。
1945年到1947年是吳文俊邁上新臺階的第二個兩年黃金年。第一個兩年黃金年是大學三、四年級，他由極為普通的大學數學課程通過自修達到當時數學的前沿，但是，5年的停滯對于任何未來數學家來說，都可以說是致命的。幸好，命運之神再一次向他招手，短短兩年時間，他完成了三次轉折，這三次轉折為他鋪下數學家的成功之路。
第一次轉折是由中學走向大學，這時，他的授課負擔一下子減少一大半，開始有足夠的時間繼續數學研究了。同時，大學的環境與中學完全不同，他又有可能接觸最新的資料，同時，他也結識了當時一些國內的最好數學家了。他的朋友趙孟養以及其他數學家也給他新的消息，當時正招考中法留學交換生，他考上了，這成為他的第二個轉折。也是通過趙孟養和其他人的幫忙，他進入中央研究院數學研究所，受教于陳省身，這成為他的第三大轉折。經過這三次轉折，他已經穩穩地踏上數學研究的道路了。
對吳文俊事業影響最大的是陳省身。陳省身于1946年4月回到上海，但并沒有直接到北平就任清華大學教授，而是留在上海籌備中央研究院數學研究所，這對中國數學發展至關重要，而對吳文俊來說，這的確是千載難逢的大好機會。
吳文俊經過趙孟養介紹，同他的朋友錢圣友一起去見陳省身，當時，他有點擔憂，他親戚給他打氣，說陳先生是學者，只考慮學術，不考慮其他，不妨放膽直言。于是他同陳先生見面時，就直率提出想去數學所工作。當時，陳省身不置可否，但送他出門時，卻說，你的事我放在心上。果然，陳省身慧眼識英才，不久就通知他去上班。這一決定使吳文俊走上數學研究的道路。
當時數學所籌備處規模很小，在岳陽路幾個單位中，只占據一座樓的第二層，最大的一間供會議與報告之用，次大的一間是圖書室，吳文俊的工作地點就在圖書室內，其他人分居其他各室。吳文俊很喜歡學習，他總是在圖書室閱覽書刊。有一次，陳省身來圖書館，就同他說，你該還債了，意思是，不要只看書，要想問題寫文章了。吳文俊的確也是愛思考，富于創見的人，但他的基礎，主要還是點集拓撲方面的。一次他把自己這方面的結果給陳省身看時，陳省身立即指出，你的方向不對。正是陳省身這句話扭轉了他的研究方向，真正走上代數拓撲學的康莊大道。
在當時，代數拓撲學雖然已有50年歷史，卻方興未艾。正是戰后十年，由于包括陳省身和吳文俊等人在內的努力，這個當時的灰姑娘才變成雍容華貴的數學的女王。剛剛從普林斯頓回國的陳省身敏銳地感到代數拓撲學是未來數學發展的領頭羊，而且必將成為影響其他學科的主流學科，因此迅速地決定把這門學科普及到中華大地上。1946年下半年，陳省身每周講12小時拓撲學，為年輕學子打下基礎，聽講的年輕人，不少就成為著名的拓撲學家，特別是吳文俊、陳國才、楊忠道、王憲鐘、張素誠、廖山濤等幾位。
一旦方向找準，吳文俊以他非凡的智力很快就取得突出的進步。“初生牛犢不怕虎”，吳文俊這時研究的問題是示性類理論的基礎，惠特尼(H.Whitney)的乘積公式。這個公式是惠特尼在1940年提出來的，惠特尼是美國數學家，是微分流形理論、示性類理論、奇點理論的奠基者，1981年榮獲顯赫的沃爾夫(Wolf)數學獎。1935年到1936年，瑞士數學家施提菲爾(E.Stiefel)和惠特尼獨立從不同途徑提出了示性類，由此開創了示性類理論，它們的示性類也有他們的名字命名，稱為施提菲爾—惠特尼示性類。初期對它們幾乎沒有什么了解，也不會計算。惠特尼乘積公式是一個最基本的公式，但是惠特尼只能證明最低維的情形，他在1941年說，一般公式的證明極為困難。剛剛入門的吳文俊，憑著非凡的膽識及創造，毅然去攻這個難題。當然，道路不會是一帆風順的。1947年春天，陳省身到北平清華大學去教課，曹錫華和吳文俊同行，他們同往在清華的一間宿舍里，吳文俊每天攻關到深夜，睡覺時覺得證明出來，早晨一覺醒來，就發現錯誤，于是繼續攻關，如此反復多次，最終獲得成功。這時離他到數學所還不到一年。這充分顯示了吳文俊的實力，吳文俊的這篇著作已成經典，在現在示性論理論中，它成為公理，是整個理論的基石。
在北平呆了兩三個月，他得到考取中法交換生的消息，這樣他趕回上海，準備去法國。他在大學時，已經自學法文，能夠流利地閱讀法文數學文獻。但是聽、說又是另一回事。當時他也參加幾次法語口語班，但是沒有堅持下去。到了法國，日常生活吳能勉強應付，至于數學討論班，他大致聽得懂，沒問題，這多少也有點天才。他同數學家私下交流時，大都用英語，溝通沒有困難，因此在語言方面問題不大。
1947年暑期，考取中法交換生的40名學生到南京集訓。其間法國文化參贊手頭已有陳省身的推薦信以及H.嘉當準備接受吳文俊的資料，自然把他派到當時嘉當任教授的斯特拉斯堡。這位文化參贊多少有些糊涂，于是他一古腦地把四位學數學的學生以及一位理論物理的金星南都派往斯特拉斯堡。其余的大都去巴黎。
暑假以后，吳文俊就不去數學所籌備處上班。他這一年的經歷的確初步打下研究數學，特別是代數拓撲學的基礎。正是因為有這至關重要的一年，他才能到法國更上一層樓，與國際接軌，走到數學的前沿。
三、法國四年(1947-1951)
吳文俊到法國原是跟H.嘉當(H.Cartan)，這是由陳省身的推薦，嘉當回信表示接受，于是，吳文俊來到斯特拉斯堡。但當吳到斯特拉斯堡時，嘉當已去巴黎任高等師范學校教授，因此，他就換一位導師，C.埃瑞斯曼(C.Ehresmann)。埃瑞斯曼也是布爾巴基學派成員，他的博士導師是H.嘉當的父親，E.嘉當，是當代數學大師，微分幾何學的領袖人物。埃瑞斯曼的博士論文主要研究格拉斯曼流形的同調群，而它則是后來示性類研究的基礎。埃瑞斯曼有不少原創性的思想，例如纖維叢、近復結構、導網(jet)葉形、等，對整個數學至關重要，對吳后來的工作也有一定影響。
吳文俊到了法國，一開始對當時布爾巴基式的抽象很不習慣，也十分不理解，有些不適應。經過埃瑞斯曼等人的指點，吳文俊很快就知道，他所習慣的具體對象與他們所講的抽象結構是如何對應起來的，很快搞清楚抽象名詞背后的具體內容，這道關一破，吳文俊就像過去一樣，很快就取得了跳躍式的進步。到了1948年，他已經取得一個又一個的成果了。按照當時的習慣，學生一般難得見到導師，每當有一些成果之后，他才向導師匯報，如果結果很好，導師就會建議他送到《法國科學院周報》(ComptenRendus)上發表。有一次，吳文俊把他做好的一些工作告訴埃瑞斯曼，埃瑞斯曼說，很好，你可以寫成文，送到《法國科學院周報》上發表。然后，吳文俊說，我還得到了一個小結果，是關于近復結構的，出乎吳文俊意料的是，他這個自以為不太重要的結果，得到了埃瑞斯曼的稱贊，并說這個結果極為重要，要他馬上寫出來先行發表。吳先生后來回憶起這事，評論道，這才是導師應該起的作用，分清主要的問題和次要的問題。實際上，流形上是否存在復結構是當時大家關注的中心問題。而復結構存在的必要條件是近復結構的存在。近復結構的存在是一個拓撲問題，正好是吳文俊研究的突破所在。通過示性類，吳文俊證明，4維實流形存在近復結構的條件，特別他證明5[4n]不存在近復結構。這個問題的解決在當時已經引起注意，英國的頂尖拓撲學家J.H.C.懷特海(Whitehead)寫信來了解情況。特別是當時拓撲學界的大權威，霍普夫(H.Hopf)知道吳文俊得到若干個驚人結果之后，以為靠不住，于是對埃瑞斯曼“興師問罪”，以為這是吹牛。不久，霍普夫親自來到斯特拉斯堡，見到了吳文俊，兩人就坐在大學校園的石桌旁，談起來，到了最后，霍普夫完全信服吳的證明是正確的。他十分高興，邀請吳文俊到他所在的蘇黎世理工大學訪問。
1949年初，吳文俊已經得到足夠多的結果，埃瑞斯曼提出，可以把它們集中在一起，寫成博士論文，于是吳文俊用了不到半年時間，把它們整理成博士論文，于1949年7月答辯，獲得法國國家博士學位。但由于導師希望修改之后再出版，因此，出版一再拖延，以至當校樣寄來時，吳文俊已在回國的船上。這樣吳文俊的博士論文遲到1952年由厄爾曼(Hermann)出版社出版，沒有想到，在這三年期間，無論是纖維叢—示性類理論，還是代是拓撲的其他方面都獲得了飛躍發展。吳的博士論文沒有發揮應有的更大影響，但是，吳文俊的結果已通過其他渠道，傳播到世界主要的數學中心。
1947年秋天，吳文俊應H.嘉當的邀請，到巴黎法國國家科學研究中心(CNRS)作研究工作，先任助理研究員后升至副研究員。
在巴黎期間，他在示性類方面又上了一個新臺階。簡單說，主要是得出著名的吳文俊公式，這個公式完整地解決施提菲爾－惠特尼示性類的理論問題，其中一個結果是證明該示性類的拓撲不變性。現在公認這個結果為道姆所證，但是，吳文俊最先證明最主要的情形W[,2]的拓撲不變性。這是1949年底得出來的。他的手稿沒有發表，他就把結果告訴道姆，道姆很快就得出一般結果，即所有施替費爾－費特尼示性類均為拓撲不變量，于是，吳文俊進一步得出該示性類的明顯公式，即微分流形M的示性類表示成具體公式其中史包含M的上同調環以及斯廷洛德(N.Steenrod)平方運算。這就是著名的吳文俊公式。由于上同調環和上同調整運算都是同倫不變的，因此施提菲爾－惠特尼示性類也是同倫不變的，從而自然是拓撲不變的。更重要的是，1956年道爾德(A.Dold)等證明，施替費爾－惠特尼示性類的所有關系都由吳文俊公式導出，吳文俊公式自然處于核心地位。
吳文俊回國之前，在各個數學中心傳揚著這位年輕人的工作。有人說，這是數學、特別是拓撲學的一次地震。而引發這次地震的是在法國工作的四位年輕數學家，他們依次是這樣排序的：塞爾(J.P.Serre)、道姆、吳文俊、A.保萊爾(A.Borel)。塞爾是菲爾茲獎也是沃爾夫獎的獲得者、道姆是菲爾茲獎的獲得者，A·保萊爾后來是普林斯頓高等研究院的教授，他們都是公認國際一流的大數學家。由此可知吳文俊在當時國際數學界的知名度。1951年，普林斯頓大學的聘書寄到巴黎，這時吳文俊已經在回國的船上了。
五、數學研究所(1952-1958)
吳文俊回國后，先在北大教了一年書，后來參加思想改造運動，到了1952年底，才到了1952年7月成立的數學研究所，開始自己獨立的拓撲學研究。
吳文俊在1953年到1957年研究拓撲學可以說是他第二個五年拓撲年。與每一個五年拓撲年不同，他完完全全是獨立進行自己的研究工作的。前一個五年，他或多或少受到其他數學家的影響，陳省身、埃瑞斯曼、H·嘉當，而且，幸運的是，這些影響都是積極的、正面的。他與同齡人的交流對彼此也有好處。而現在，他幾乎是一個人獨自闖關。他還很年輕，30歲出頭，可是他得完完全全地獨立工作，像一位成熟的數學家那樣開拓自己的方向。這時，他不指望任何人的指點與幫助，也沒人能指點他，因為他已經站在前沿，前面的路需要自己去摸索。在這種情況下，許多人可以躺在過去的成就上，或者在原有的基礎上小改小革，做點小的改進，也能應付下去。但吳文俊不這樣，他要與時俱進，開拓新方向，探討新問題，而且，更為突出的是，他不隨大流，甚至說有點反潮流。
當時的拓撲正好處于黃金時代，20世紀50年代短短10年產生一系列大突破，當時國際數學大獎，只有四年一度的菲爾茲獎，單是這10年的拓撲學就造就了5個獲獎者。拓撲學成為大熱門。許多結果與吳文俊的成果有關。
但是，身處中國大陸，所能交流的只有蘇聯、東歐等社會主義國家，而在50年代，由于法國學派和美國年輕一代的努力，這些國家的拓撲學已大大落后了。吳文俊只能自力更生走出自己的路。他看到當時所知道大多數拓撲不變量，如同調群、上同調、平方運算、同倫群等等都是同倫不變量，那么有沒有非同倫不變的拓撲不變量呢？這是一個全新的課題。在塞爾等人在同倫論取得大突破，大家都拼命跟著享用由此獲得的大批成果時，誰會鉆這個冷門呢？恰巧是吳文俊真的這么干了。
一到數學所，吳文俊就確定自己的戰略方向。1952年，他去數學所作了一次報告，對當時的拓撲學做了一次全面分析。在報告中，他針對同倫性問題提出了拓撲性問題。代數拓撲學發展早期；許多著名的重要問題大都是拓撲性的，但由于拓撲學中出現的主要工具，例如歐拉示性數、貝蒂(Betti)數、撓系數、同調群、上同調環、基本群、同倫群等等都是同倫性的，具體說是同倫不變量，當然也是拓撲不變量，但這些工具對拓撲性問題往往無能為力，因而從20世紀30年代以來，拓撲學的發展轉而集中于同倫性問題，特別由于塞爾等人的突破，許多原來不能計算的同倫不變量，現在也可以計算了，更使同倫性問題成為當時拓撲學發展的主流。在這個問題上，吳文俊明顯地表現出他的不隨大流的“反潮流”的獨創精神。
吳文俊在報告中重新提出拓撲性問題，而且他創立一般方法系統引入非同倫不變的拓撲不變量，特別是n重約化積，有了新工具之后，他用它去研究各種拓撲性問題。當然，一切都要經過試驗，試驗中也有問題不能用這種辦法解決，但是，在嵌入問題上卻取得輝煌的成功，從事系統地建立了示嵌類理論。在嵌入問題取得成功之后，他又用來解決浸入問題和同痕問題。
1957年，吳文俊把他的理論整理成書，在數學所油印成冊。其后由于工作停頓，1964年將此書修訂后，總結于《多＠①形在歐氏空間中的嵌入，浸入及同痕》一書，1965年由科學出版社出版，上兩本均為英文，中譯本《可剖形在歐氏空間中的實現問題》一直到結束時才問世，但是其中主要結果在1958年前均已做出。
在數學所5年間，吳文俊另一項工作是關于龐特里亞金示性類的拓撲不變性問題。吳文俊在系統完成施提菲爾－惠特尼示性類的工作之后，自然考慮龐特里亞金示性類的同樣問題。但龐特里亞金示性類問題要難的多，許多問題至今還沒有解決。吳文俊研究時，只有龐特里亞金的一個簡報(1942)及一篇論文(1947)。龐特里亞金主要論文是俄文的，他在法國就是靠字典一個字一個字查看明白的。吳文俊在做博士論文時，首先系統地建立龐特里亞金示性類的理論，并確定寵特里亞金示性類與陳省身示性類之間的重要關系。龐特里亞金原來用的同調，吳首先把它改造成上同調，并對其里腔分解作了一系列簡化。值得一提的是龐特里亞金示性類的名稱也是吳文俊首先提出的，這些基礎工作后來得到世界公認。
吳文俊回國后，希望能證明某些龐特里亞金示性類的拓撲不變性，但是，當時工具不多。他首先用自己的拓撲不變量證明模3類的拓撲不變性，后來又用新的上同調運算證明模4的拓撲不變性，其后又推出某些龐特里亞金的模p組合的拓撲不變性。
1958年，吳文俊應邀來到闊別6年半的法國。當時他的博士導師埃瑞斯曼已去巴黎任教，于是自然成為接待吳文俊的東道主。在巴黎，他報告了他在國內獨立創立的示嵌類的工作，受到普遍的關注。他做了一系列的講演，聽講者中有瑞士數學家海富里熱(A.Haefliger)，后來他做了嵌入方面出色的工作，就是受了吳文俊的影響。
埃瑞斯曼聽過吳文俊的工作后十分驚喜，說“沒想到你做出來如此出色的工作”。當然，他們不了解，在與世界隔絕的新中國，也能出現像吳文俊那樣的不亞于法國同行的獨創性結果。這時，吳文俊的工作真正處于國際領先的地位，許多人跟著他的步伐前進。
五、從到(1958-1976)
當吳文俊從法國回國時，國內形勢已經大變樣。全國一片的形勢，理論工作完全停擺，降了修水庫、大煉鋼鐵、除四害、打麻雀之外，數學工作完全要理論聯系實際。二年之后，理論研究再度“復辟”。復辟三年后，開始了四清及。在近20年的折騰當中，也就是吳文俊，仍然在許多新領域有所創造，特別是對策論、奇點理論、拓撲學、布線理論以及代數幾何學等還進行大量數學工作。而最重要的是，在后期，他完成自己研究方向的巨大改變，通過中國數學史走向數學機械化。
1958年吳文俊首先改行學運籌學，學新東西難不倒他。運籌學中只有線性規劃在國內有所發展，但還有其他幾個分支尚待開發，吳文俊先是學習排隊論，學過一段時間以后，又改學對策論。在對策論方面，他化了兩年多時間。吳文俊是在中國首先引進對策論，并首先先做這方面研究的人。
對策論又稱博奕論，公認為由大數學家馮·諾伊曼奠定基礎。對策論或為一門獨立學科的標志是馮·諾伊曼和奧地利經濟學家莫根施坦(O.Morgenstein)合著《對策論與經濟行為》，在1944年出版。從書名來看，對策論與數理經濟學密切相關，顯示，這種經濟學是資產階級經濟學，在當時的中國是諱莫如深的。而對策論如果脫掉經濟學的干系，卻是一門由數學家建立的數學分支，在運籌學蓬勃發展的50年代被納入運籌學這個大家庭中，借著運籌學的庇護，進入“理論聯系實際”的數學領域。
對策論有一個基本定理，二人對策的極大極小定理。這個定理是對策論的基石，馮·諾伊曼在1928年首先給出一個完整的證明，其后他又給出另外三個證明。而第二個證明是用拓撲學中熟知的布勞威爾(Brouwer)不動點定理。而這正好是吳文俊理解對策論的切入點，也是他研究的出發點。與此相反，排隊論則完全是另外一套新概念，和他沒有任何共同語言。
找到了共同點，吳文俊很快就上了路。1959年初，他的第一篇對策論論文《關于博奕理論基本定理的一個注記》發表，這是中國第一項對策論的研究工作。
同時，他還寫了一篇普及性文章“博奕論雜談：（一）二人博奕”，深入淺出地介紹了基本定理的證明。在這篇文章中，第一次明確提出“田忌賽馬”的故事。這篇1959年的論文，也第一次道出中國古代思想中的對策論思想。當時，他對中國數學史可以說還一無所知，可是，他已經在西文數學文獻的海洋中分析出其核心的思想以及中國古代的先進思想。這也說明他后來對中國數學史研究并非出于偶然。這篇文章之后，本應有（二）、（三），但是遺憾的是，后面的文獻從未發表。
吳文俊善于抓住一門學科的主要問題，這不能不讓人佩服，吳文俊對于這門過路的課題，雖然認為自己的工作微不足道，可是還是抓住了發展的主題，留下了自己的痕跡。原來馮·諾伊曼主要討論的是合作對策，而其后對策論的一大突破則是納什(J.Nash)的非合作對策。現在納什已經變得家喻戶曉，甚至上了電影的人物。可是在50年代，納什的工作并沒有多少人跟著做，納什本人也轉向純數學的研究，并在吳文俊走向這個領域時精神失常。但吳文俊認出其重要性，他寫了兩篇非合作對策的論文，第一篇在1961年發表，后來一篇寫后給他的學生江嘉禾看，江指出有些小錯，于是兩人合作發表。吳文俊對于活動區域受限制的情況下，利用角谷不動點定理的推廣，推廣了納什定理。在一般情況下，均衡點未必存在，吳文俊等還引進“本性均衡點”的概論，它具有更好的性質，即沒有本性均衡點的對策，多多少少是例外的情形。
納什這位數學家的杰出思想，經過數學家與經濟學家的通力合作，在60年代到70年代成為與經濟現實密切聯系的工具。到80年代，對策論早已跳出運籌學的范圍投入經濟學的懷抱，成為經濟學的一門主課。大部分對策論工作是在經濟系做的。
在馮·諾伊曼和莫根施坦的奠基性著作《對策論和經濟行為》發表50周年，諾貝爾經濟學獎發給納什和其他兩位經濟學家，獎勵他們在非合作對策方面的奠基性工作，這再次肯定離異很久的經濟學和對策論再度聯姻。對策論成為經濟學大家族的正式成員。
正是由于納什不可思議地再度輝煌，沿著納什路線稍做改進的吳文俊等的工作也受到關注并被引用。
六、中國數學史(1974-)
對于科學家和中國科學事業是一場災難，對吳文俊也不例外。但是，吳文俊與常人不同之處在于，他能夠突破逆境，變壞事為好事，化腐朽為神奇。55歲對于一位數學家來說，一般已經過了最好的時期，的確可以躺在過去的成績上享清福了。吳文俊再次不同于常人，他開始了第二次長征：從中國數學史過渡到數學機械化，而這與他前期的研究可以說毫無共同之處。
發展到1974年已經8年了。事件之后，數學所的業務工作稍有恢復。就在這當口，掀起一波批林批孔運動。在運動中，由于批孔的關系，對于歷史要進行盤點，這使得吳文俊開始對于數學史進行探討。他發現以西方為主的數學思想成為主導數學及數學史研究的中心，而對中國古代數學完全視而不見、置之不顧。這使他很氣憤，從此開始對中國數學史進行正本清源式地清理，結果做出一系列的重大發現，而且進一步概括中國數學的與西方完全不同的特點。這一下子扭轉中國數學史研究的方向，給數學史以很大的沖擊。1986年，吳文俊被邀請在國際數學家大會上做45分的報告，集中反映了他12年研究的結果。時至今日，他對中國數學史仍在進一步深入研究。
七、數學機械化(1976-)
1976年10月的破滅標志著的結束，中國迎來科學的春天。吳文俊這時可以全心全意投入科研，毫無后顧之憂了。正好這時，他開始一整套新計劃——數學機械化。
吳文俊的數學機械化思想不是一時心血來潮，而是長期思考導致的戰略轉變。他認清計算機出現對人類工作和生活的巨大促進，更認識到計算機對于未來腦力勞動機械化的潛在影響。要知道，當時還沒有微機，微軟也剛剛建立，沒人想到十年之后、二十年之后的變化。吳文俊想的更遠，他不僅看到體力勞動的機械化，更高瞻遠矚地看到腦力勞動的機械化。而數學正是最純粹的腦力勞動。腦力勞動的機械化當然從數學做起，數學的兩大任務是證明定理及計算，數值計算不成問題。問題是如何把證明化為符號計算并且由計算機實現，這就是數學機械化中心思想。
大部分數學定理是不能機械化的，但是這不是全部，吳文俊必須做出一個示范，從簡單但并非平凡不足道的問題入手，他從平面幾何開始，在1976年底取得成功。
不可否認，在1976年底，1977年初，科研環境稍有改善，但人們的思想則遠未解放。長期以來，西方數學在數學領域占主流地方形成一種思想定式，對于“標新立異”之作持懷疑態度。不可否認也有一些人“妄自菲薄”，而吳文俊早就知道，站在國際前沿的數學家什么樣，他在這個圈子里呆過，在國內工作時也做出國際領先水平的貢獻，尤其是中國數學史告訴他在16世紀之前，中國數學優于西方。盡管有種種議論，也有一些數學家是支持他的，例如數理邏輯家胡世華和調和分析專家程民德等，尤其是關肇直，對他更是全力支持。關肇直在1979年末成立系統科學研究所，就聲稱吳文俊愿意搞什么就可以搞什么，不幸，關肇直于1982年11月去世。這樣，在很長一段時間中，吳幾乎是孤軍奮戰。1984年他取得系統的成就，并得到國外的廣泛注意。大約同時，他開始招收研究生，這樣影響一點一點擴大。研究機械化的成員只是系統所一個小研究室——基礎室的一小部分。
這一次又是重復拓撲學情形。從1979年起，吳文俊幾乎年年出國，他的數學機械化許多成果已經享譽國際，這引起許多科學家的注意，特別是程民德先生等都及時地把吳的工作在國際上的反響反映給領導，另一方面，日本搞的第五代計算機雖然吹的沸沸揚揚，最后以失敗告終。這是由于他們在理論上及實際上沒有穩固的基礎，與此相較，吳文俊的數學機械化，理論上是可靠的，方法是可行的，這恰巧是人工智能方面最為重要的。這樣，吳方法也受到國內外研究人工智能方面人士的注意。在這種情況下，從科委、科學院這一級開始對吳文俊的數學機械化研究進行有效的支持，其標志就是1990年8月數學機械化研究中心正式成立。這樣20世紀90年代成為吳文俊研究興旺發達的十年。
比起拓撲學來，吳文俊的數學機械化思想更具有革命性。它包含豐富的內容，這里只能概括一下要點：
1.解決問題的普遍框架。首先，將任何問題化為數學問題，其次，將數學問題化為代數問題，最后，將代數問題化為求解代數方程組的問題。當然，這個普遍框架每一步不一定行得通，但一旦行得通，問題就化為求解代數方程組的問題。
2.求解代數方程組是數學上極為困難的問題。在理論上屬于代數幾何學。但是，西方數學難以建立有效算法來真正去解這個方程組。而吳文俊方法恰巧能有效地做到這一點。
3.由于理論的可靠性及方法的可行性，產生許多重大的應用，理論上自動推理，例如由開普勒定律推出牛頓萬有引力定理，在實用上，解決力學、物理、化學、機器人、連桿設計等一系列問題。
在1999年5月慶祝吳文俊80壽誕之際，張恭慶發言指出，吳文俊是中國數學界的一面旗幟。這句話準確地概括吳文俊學識、工作、人品及思想各個方面。本文只是對他在學術上的影響略陳一、二。更祥細內容參看[1]-[5]以及[6]中一些論文。吳文俊的著作目錄參見[2]。關于數學機械化的最新綜述，參看[7]。
【參考文獻】
[1]胡作玄：“吳文俊”，《中國現代科學家傳記》，第二集，盧嘉錫主編，北京，科學出版社，1991,93-111。
[2]胡作玄：《吳文俊》，《中國現代數學家傳》第一卷，程民德主編，江蘇南京：江蘇教育出版社，1994,377-400。
[3]胡作玄：“吳文俊”，《世界數學家思想方法》，解恩澤、徐本順主編，山東濟南：山東教育出版社，1994,1689-1754。
[4]胡作玄：“吳文俊與拓撲學及數學機械化”，《中國當代科技精華：數學與信息科學卷》，盧嘉錫主編，黑龍江哈爾濱，黑龍江教育出版社，1994,117-129。
[5]胡作玄：“吳文俊”，《中國科學技術專家傳略》理學編數學卷1，王元主編，石家莊，河北教育出版社，1996,381-397。
[6]林東岱等主編：《數學與數學機械化》，濟南，山東教育出版社，2001。
[7]高小山：“數學機械化進展綜述”，數學進展30:5(2001)385-404。
[8]H.Cartan,Oeuvres,Berlin,SpringerVerlag1979,1254.
[9]M.Stone,NoticeAmer.Math,Soc8,(1961).
