幾何原本

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583年，意大利傳教士利瑪竇（MatteoRicci，1552－1610）將他在羅馬學院時期的老師克拉維烏斯（C.Clavius，1538－1612）神父編寫的《幾何原本十五卷》（EuclidiselementorumlibriXV）帶到了我國，1607年，他和我國數學家徐光啟翻譯了前六卷，1857年，英國人偉烈亞力（wylieAlexander，1815－1887）和我國數學家李善蘭翻譯了后九卷，中間隔了整整250年。這期間《幾何原本》后九卷的情況是怎樣的呢？有沒有其中的內容被介紹過來呢？答案是：有。不僅有，而且內容還不少。下面筆者擬就這個問題作一闡述。

1608年，李之藻在跟利瑪竇學習數學一段時間之后，寫成了《圓容較義》一書。此書共十八個題，主要論述了圓內接多邊形和一些立體幾何的性質。此書第十四題為：“銳觚全形所容與銳頂至邊垂線及三分底之一矩內直角立形等。”此題的解釋是：“論曰：從立形底諸角與相對一角如子角者皆作垂線，以成庚辛壬癸子觚形。此形與寅庚形同底同高，又同巳甲銳觚之高，既巳甲形兼庚辛壬癸子觚之三。”到這里，作者用小字體注解說：“十二卷六注言：兩觚形同高者，其所容之比例入其底。底等亦等，底倍亦倍。”[1]

這里的“十二卷”是哪里的呢？經查對，正是《幾何原本》中的第十二卷。《幾何原本》十二卷命題六現在翻譯為：“以多邊形為底且有等高的兩個棱錐的比如同兩底的比。”[2]當時國內僅有利瑪竇帶來的克拉維烏斯神父編寫的《幾何原本十五卷》，因此，李之藻必定參考的這個版本。

上面的內容之后接著是：“寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三。”小字體解釋：“以同底同高故，在十二卷七系。”[3]查這里的內容，與《幾何原本》十二卷命題七內容也正相對。《幾何原本》十二卷命題七為：“任何一個以三角形為底的棱柱可以被分成以三角形為底的三個彼此相等的棱錐。”[4]

此書第十五題為：“平面不拘幾邊，其全體可容渾圓切形者，設直角立形，其底得本形三之一，其高得圓半徑即相等。”解答是：“有甲乙丙丁形，內含戊巳庚辛圓，其心壬，而外線甲乙切圓于戊。”這后面小字體解釋為：“十一卷三題。”[5]我們查對《幾何原本》第十一卷，命題三為：“如果兩個平面相交，則它們的共同交跡是一條直線”。[6]仔細分析，本書的命題是其一個特例，是命題三一個推論。

此書第十六題為一個關于球的體積和立方體體積的題，在此題的解答中，有敘述說：“于庚辛壬丙內試作有法形勿切甲乙丙圓。”[7]之后還有敘述說：“于甲乙丙圓內作有法形不令切癸子丑。”[8]這兩句話后面給出的小字體都是：“十二卷十七。”我們查《幾何原本》十二卷命題十七，其為：“一致兩個同心球，在大球內作內接多面體，使它與小球面不相切。”[9]由此，作者在這里介紹了這個命題。

此書十七題為一個關于圓的性質的題，在此題的解答中有：“甲圓外試作與丙（一個多邊形）相似形。”這句話的后面小字體提示為：“十二卷”。[10]我們查閱《幾何原本》十二卷，其引用了其中命題二--“圓與圓之比如同直徑上正方形之比。”--證明過程中作圓外相似形的子命題。[11]

此書十八題為關于球的體積的題，在此題的解答中有兩個小字體解釋，第一個為：“圓角形同底之比例，若其高之比例。在十二卷十四題。”[12]第二個為：“圓角形同高之比例，若其底之比例故也。在十二卷十一題。”[13]查閱這里的內容，與《幾何原本》中命題十四和命題十一正對。命題十四說：“有等底的圓錐或圓柱之比同它們的高之比。”[14]命題十一說：“等高的圓錐或圓柱之比如同它們的底的比。”[15]

由上可看出，利瑪竇當時給國人簡單介紹了《幾何原本》后九卷的一些內容。

1631年，意大利傳教士羅雅谷（JacquesRho，1593－1638）在北京參與《崇禎歷書》的編纂，寫成了《測量全義》十卷。《測量全義》為后面的天體測量奠定基礎，主要討論了各種幾何圖形的測量。在其第四卷中，給出了這樣一個小命題：“以第一自乘又以乘第二，其兩方之比例亦若第三與第四。”后面的小字體解釋為：“見幾何七卷十七題。”[16]檢查之，此處命題正是《幾何原本》第七卷命題十七：“如果一個數乘兩個數得某兩數，則所得兩數之比與被的乘兩數之比相同。”[17]

第六卷中作者主要討論了立體幾何，在這里作者說：“幾何原本十二卷七增題曰：兩平行面之體或同高，兩體其比例為體與體若底與底，但取同類相求，以正高為據，不論體勢直與不直……幾何十二卷七題之系曰：同底同高之角體與平行面體之比例，若一與三。”[18]此兩個命題顯然是《幾何原本》中的內容。

所以，羅雅谷也介紹了《幾何原本》后九卷中的內容。

1687年，法國傳教士張誠（JeanFrancoisGerbillon,1654－1707）和白晉(JoachimBouvet,1656－1730)來到中國，不久他們即被召進北京給康熙講授數學。他們在教學時，因為嫌徐光啟和利瑪竇翻譯的《幾何原本》前六卷復雜難懂，于是另外翻譯了由法國人巴蒂（I.G.Pardies，1636－1637）編寫的《幾何原本》（ElementsdeGeometrie）。他們在翻譯的同時，或者是緊隨其后，又寫出了一本書叫《算法原本》。《算法原本》后來被收入到《數理精蘊》中，所以今天能看到。但是這不是原來的全部內容。根據中國科學院自然科學史研究所保存的李儼先生從故宮手抄出來的《算法原本》來看，原書內容要豐富的多。

《算法原本》主要討論的是什么呢？現已有人作了研究：它主要討論了整數數論；它的內容來自于《幾何原本》；它其實是《幾何原本》的第七卷。[19]

前段時間筆者也有幸看到了李儼先生的手抄本。其共分75個部分，第一部分主要討論了整數的性質，相當于定義。從第二部分開始，直到最后，討論的全是數論的內容。但是，該書不是對《幾何原本》第七卷的直譯，是意譯。

當時張誠和白晉他們為什么要翻譯這本書，也有人進行了研究，認為是為了學習他們翻譯的《幾何原本》中的立體幾何作打基礎的。李善蘭的幾何原本序言中曾說：“（幾何原本）卷七至卷九有比例無比例之理，卷十論無比例十三線，卷十一至十三論體，十四十五二卷亦論體，則后人無續也。無七八九三卷，則十卷不能讀。無十卷，則后三卷中論無體之邊不能盡解。是七卷以后皆為論體而作，即皆論體也。”

1700左右，當時著名數學家梅文鼎寫了一本書叫《幾何補編》，其中提及了五種正多面體的性質。[20]在《幾何補編》第一卷中，他說：“凡等四面體，以其邊為斜線而求其方，以作立方，則此立方能容等四面體。”

在第二卷中，梅文鼎說：“立方內容二十邊等邊算法：亢卯寅房為立方全徑一百，中寅中卯為半徑五十，寅卯二點為二十等面邊折半之界，寅卯線為二十等面邊之半，中為體之中心，寅中卯角為三十六度。中寅半徑當理分中末之全數，寅卯即理分中末之大分……約法：立方根與所容二十等面之邊，若全數與理分中末之大分……若十二面，邊為理分中末線之小分，求其全分，為外切立方也。”這就是說，正二十面體的邊長等于正方體邊長黃金分割之大段長；正十二面體邊長等于正方體邊長黃金分割之小段長。

在第三卷中，梅文鼎說：“凡十二等面與二十等面可以互相容，皆以內體之尖切外體之各面中心一點……凡立方內容十二等面，皆以十二等面之邊正切于立方各面之正中凡六，皆遙對如十字。假如上下兩面所切十二等面之邊橫，對前后兩面所切之邊必縱，而左右兩面所切之邊又橫。若引其邊為周線，則六處皆成十字。立方內容二十等面邊亦同。”

在第四卷中，梅文鼎又說：“凡立方體各自其邊之中，半斜剖之，得三角錐八，此八者合之即同八等面體。依前算，八等面體其邊如方其中高如方之斜，若以斜徑為立方，則中含八等面體，而其體積之比例為六與一。何以言之？如巳心辛為八等面體之中高，庚心戊為八等面之腰廣，巳庚、巳戊、戊辛、辛庚則八等面體之邊也。若以庚辛戊腰廣自乘，為甲乙丙丁平面，又以巳辛心中高乘之，為甲乙丙丁立方，則八等面之角俱正切于立方各面之正中，而為立方內容八等面體矣，夫巳心、辛庚、心戊皆八等面方之斜也，故曰以其斜徑為立方，則中含八等面體也。”

而上述說法與克拉維烏斯神父編寫的《歐幾理德幾何原本十五卷》中第十五卷給出的正多面體的性質很多相似。在克拉維烏斯神父的書中給出了21個命題，全部是作圖題。比如第一個命題是：在六面體中求作正四面體（IndatoCuboPyramidemdescribere），第三個命題是：在正六面體中求正八面體（IndatoCuboOctaedrumdescribere）。第五個命題是：在正二十面體中求作正十二面體（IndatoIcosardroDodecaedrumdescribere）；第七個命題是：在正十二面體中求作正二十面體（IndatoDodeaedroIcosardrumdescribere）。[21]

在討論這些圖形如何作的時候，作者推出了和上述相同的性質。甚至有些話都是一樣的。比如，在312頁命題：IndatoCuboDodecaedrumdescribere.的闡述中有：Silatuscubiseceturextremaacmediarationeminussegmentumlatusestdodecaedriincubodescripti。（以正六面體邊長黃金分割之后的小段為邊長可在這個正六面體內作正十二面體。）在315頁命題：IndatoCuboIcosaedrumdescribere.的闡述中有：Silatuscubiextremaacmediarationeseceturmaiussegmentumlatusesticosaedriincubodescripti。（以正六面體邊長黃金分割之后的小段為邊長可在這個正六面體內作正二十面體。）[22]

梅文鼎的這些知識從哪里來的？是不是當時有人翻譯了《歐幾理德幾何原本十五卷》后面的內容？這個問題我們認為并非完全不可以猜測。畢竟當時在華的傳教士很多，還有梅文鼎探訪知識的能力也很強。[23]

綜上所述，在徐光啟翻譯《幾何原本》前六卷之后和在李善蘭翻譯《幾何原本》后九卷之前，的確已有不少《幾何原本》后九卷的內容早已被翻譯了過來。有的還被翻譯過來馬上應用到了數學研究和實踐中。所以，縱觀明清之際《幾何原本》之東來，其應該是一個循序漸進的和連續的過程，不是間斷的。

參考文獻

[1][3][5][7][8][10][12][13]李之藻.圓容校義[M].天學初函[C].臺北：臺灣學生書局影印本，1965.3472，3472，3473,3475，3477，3479，3481，3482。

[2][4][6][9][11][14][15][17]歐幾理德.幾何原本[M].西安：陜西科學技術出版社，2003.567，569，508，588，557，585，576，212。

[16][18]徐光啟.新法算書[C].四庫全書（789）[C].上海：上海古籍出版社，1983.641，668。

[19]韓琦.康熙傳入的西方數學及其對中國數學的影響（博士論文），1991.29－30。

[20]梅文鼎.幾何補編[M].四庫全書[C].上海：上海古籍出版社，1983。

[21]C.Clavius.EuclidisElementorumlibriXV[C].Romae:ApudVincentiumAccoltum1574.（Vol.2）225，305－324。

[22]Jean-ClaudeMartzloff.RecherchessurL''''euvremathematiquedemeiwending(1633-1721)[M].Paris:CollègedeFrance,Institutdeshautesétudeschinoises,1981.265－267。

[23]梅文鼎年輕時曾師從隱士學習我國傳統歷法，及長，1675年曾在南京一姚姓人家購的巨著《崇禎歷書》，1679年，也曾在民間訪得西式星盤制造方法。