用課程基地資源進行高中數學教學實踐

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摘要：“數字化高中數學課程基地”的建成，為數學實驗提供了條件。為發揮課程基地的價值與功能，應用“課程基地”資源，需從不同層面的體驗、先實驗后概括、呈現隱蔽關系、模擬體驗確定性對不確定性的制約、展示不同情境中的同一結構、在活動中“算玩結合”等方面進行高中數學教學的實踐探索。通過應用基地資源進行高中數學教學，改變了以往高中數學過于注重講授的傾向。完善基地資源建設需從在動態與開放中運行、做好整體構建等方面加以努力。

關鍵詞：課程基地；資源；高中數學；體驗；整體構建

《數學課程標準》指出：“數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索、閱讀感悟與合作交流等都是數學學習的重要方式。要充分考慮計算器、計算機對數學學習內容和方式的影響，大力支持開發并向學生提供更為豐富的學習資源，把現代信息技術作為學生學習和解決問題的強有力工具。”［1］但在現實的數學課堂教學中，我們雖然也做過一些數學實驗，由于條件、認識與應試的影響，沒有認真規劃與設計，做得不多、不實，大多是應景行為，沒有達到應有的目的。我校“數字化高中數學課程基地”建成后，為應用“課程基地”資源進行高中數學教學提供了很好的條件。

一、“數字化高中數學課程基地”建設內容

我校“數字化高中數學課程基地”被江蘇省教育廳確定為2013年“普通高中課程基地建設項目”后，就在已往思考的基地上，積極開展了硬軟件平臺、數字化數學學習中心建設。1．硬軟件平臺首先對學校已有的硬件設施進行了提檔升級，增建配套的錄播教室一間。建設了支撐課程基地的軟件學習平臺：建立了一個基于Web的能支持和管理教學過程、提供共享學習資源和各種學習工具的數字化學習環境，為學習者在進行數字化學習時提供支撐與服務。建立課程基地主題網站，網站建設指派電教中心專人負責，對課程基地的建設進行宣傳推廣、成果、活動介紹。學習平臺建設突出互動性，讓師生能即時、順暢交流。2．數字化數學學習中心數字化數學學習中心建設了數學應用體驗館、數學趣味體驗館、數學閱讀體驗館。（1）數學應用體驗館。館中有TI圖形計算器、平板電腦、高中完全版立體幾何模型、3D打印機、TI無線網絡版交互系統、TI教師備課軟件、學生版對應軟件等。通過圖形計算器作圖、多媒體演示、（成品或制作）模型呈現等方式，進行情景模擬、互動場景設置，讓學生深刻體驗數學的魅力，改變學習方式，提高動手能力；開設數學探究實驗，變“學”為“做”，調動學生學習數學的積極性，促進教師教學方式的轉變。（2）數學趣味體驗館。館中有科技模型、玩具模型、多媒體游戲等趣味資源180多套，還有近千本（套）數學趣味書籍（圖片）。在運行中不斷收集增添古今數學故事、生活中趣味數學、數學游戲、數學謎語、數學對聯等等，根據財力不斷增添一些趣味模型資源。在數學綜合實踐課或數學社團活動中，讓學生從故事展示、圖片欣賞、多媒體游戲演示、玩具操作中體驗趣味數學。（3）數學閱讀體驗館。館中有高中數學閱讀課程校本教材、高中數學競賽相關書籍、數學專著、全部的高中生數學雜志、數字化高中數學閱讀資源平臺。由于師生基礎和體驗不同，教師教學中的引入、講座中的介紹一定加入了教師的理解，這個視角不一定適合學生。在數學閱讀體驗館中學生可以閱讀相關知識的原文，從原創中尋找自己的東西，自我體驗、理解，引導學生尋找適合自己的路子。

二、應用“課程基地”資源進行高中數學教學的實踐探索

“高中生的抽象思維能力雖然達到了一定水平，但對于一些數學概念的理解、數學創新能力的培養，形象思維在學習過程中仍起著不可替代的作用。”［2］“數字化高中數學課程基地”的建成，為進行數學實驗提供了條件，必須重新認識和組織高中數學教學。

1．不同層面的體驗在學習立體幾何時，由于體驗經歷、心理表征和知識水準等不同，有的學生只要教師作圖講解就能掌握，而有的學生要通過動畫模擬或者模型體驗才能掌握。問題1：棱長為a的正四面體的一面與各條棱都為a的正四棱錐一個側面疊合構成的幾何體是幾面體？在練習中給出這個問題，學生大多數答案是七面體，當教師給出的答案是五面體時，許多學生表示驚訝。按照過去方法進行處理，即作圖講解：按照條件作出組合幾何體后，語言解釋“疊合后正四面體的兩個面分別和正四棱錐的兩個面在一個平面上（兩個“三角形”面組合成一個“菱形”面）”，給出這個幾何體是三棱柱（五面體）的結論。只有52％的學生表示接受結果，部分學生覺得不可能這么巧。在“數學應用體驗館”中通過動畫模擬或模型體驗進行教學，學生掌握的情況明顯不同。動畫模擬：制作將各棱長均為a的正四面體和正四棱錐在運動中疊合成三棱柱（五面體）動畫。有89％的學生表示接受結果，有一些學生覺得疊合后，動畫中兩個三角面合成一個菱形面不平。模型實驗：在立體幾何全套模型找出已有成品模型一組，用兩臺3D打印機打印兩組、用“木工實驗室”工具讓學生動手制作幾組，然后讓學生將模型組合后觀察、觸摸進行實驗，學生都對結果表示接受。可進一步引導學生通過二面角大小（的余弦）的計算來說明。通過不同層面處理，學生有不同的體驗，掌握的效果也不同。教師可以根據需要，進行不同層面的處理，幫助相應層次的學生進行學習。

2．先實驗后概括有些數學知識和方法，依靠教師講授，學生學得枯燥、做得無興趣，而且不易掌握。采取先實驗、后概括的方法進行處理有利于學生理解掌握。問題2：如何引導學生概括“數學歸納法”原理？若按照以前教學照本宣科地進行講解，學生學得枯燥無味，對其實質也理解不透，以后學生證明時常有以下錯誤出現：不驗證“n＝1命題成立”；不用“假設n＝k時命題成立”作為條件；由“n＝k命題成立推出n＝k＋1時命題成立”時，只寫形式，不進行實質推導。而應用“數學趣味體驗館”中的“多米諾”骨牌進行操作實驗，考慮：（1）當其中一塊骨牌倒下，緊接著后面的一塊怎么樣？（2）要使所有骨牌倒下，只要第一塊骨牌倒下是否就可以了？在熱烈的氣氛中學生得到實驗結果后，引導學生概括出“數學歸納法”原理，幫助學生理解用“數學歸納法”證明：必須驗證n＝1命題成立（第一塊骨牌要倒下）；假設n＝k時命題成立（第k塊可以倒，但現時倒與未倒狀態未定），必用n＝k時命題成立作為條件，證明出n＝k＋1時命題成立（第k塊骨牌倒下，第k＋1塊骨牌必倒下）。后來調查發現，通過這樣實驗，學生能主動、有興趣地學習抽象原理，也解決了我們教學中強調而沒有效果的問題（如忘記驗證n＝1成立、不用“假設n＝k時命題成立”作為條件等）。

3．呈現隱蔽關系對于函數圖像、解析幾何、數形結合問題，蘊含的對應聯系、運動變化中隱蔽的關系，應用基地中的圖形計算器、平板電腦、多媒體等準確地“特寫”或動態呈現出來，引導或幫助學生思考。圖1問題3：已知點D（0，3），M和N為橢圓C：x2／9＋y2／4＝1上兩點，且→DM＝λ→DN，實數λ的取值范圍是。用常規的解析幾何處理方法很麻煩，有些學生類比圓的處理，直覺λ的取值范圍為［1，5］，但是沒有依據，對所得到的結論不踏實，往往不敢確定。而在“數學應用體驗館”中，學生可自己選擇基地中圖形計算器、平板電腦、多媒體等，將橢圓C拉伸成圓（如圖1所示），“特寫”拉伸時實數λ不變（聯系線性變換知識），然后將問題放在圓的情景下處理，就容易得到λ的取值范圍為［1，5］。應用“課程基地”資源，將一些傳統教學中教師很難處理的抽象問題、暗箱問題等，轉化成看得見、摸得著的動態圖像或組合實體，可能很容易讓學生理解掌握。

4．模擬體驗確定性對不確定性的制約“了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，進一步了解概率的意義以及頻率與概率的區別，要通過大量的實驗。有了計算機的輔助，學生可以將大量重復的實驗在計算機上實現———計算機模擬，將重復性的工作變得更加富有探究性和趣味性。”［3］應用“課程基地”資源進行數學教學，就可用計算機產生的隨機數來模擬抽樣、擲硬幣試驗、估計概率（包括用模擬方法進行幾何概型的學習），用計算機、圖形計算器畫頻率直方圖、折線圖等，用計算機對提取的數字特征進行計算與評價，進行相關性處理。幫助學生體驗和認識“確定性對不確定性的制約”，真正理解統計與概率。

5．展示不同情境中的同一結構對同一個問題放在不同情境中展示，是設計問題的主要手段，也是有些看似簡單的問題而學生經常出問題的原因。“只有經常變換課題的具體情境，在不同的情境中展現同一結構關系，學生才不會被具體情境所迷惑。”［4］應用“課程基地”資源進行數學教學，將同一個數學問題設計在不同情境中進行展示，讓學生體驗，尋找解決問題的突破點。問題4：△ABC為邊長2的正三角形，∠AOB＝45°，求CO的最大值。將這個問題設計為多媒體“動畫”，在以下兩個情境中進行展示：［情境一］如圖2所示，正三角形ABC邊長為2，點A在x軸的正向移動，點B在45°角的終邊上移動，展示C點的軌跡。［情境二］點O對邊長2的正三角形ABC的邊AB的視角為45°（即∠AOB＝圖345°），移動點O，展示O點的軌跡。在情境一中，展現出C點的軌跡；而在情境二中，展現O點的軌跡。情境一中求出C點軌跡方程很困難，情境二中O點的軌跡是（以AB為斜邊的等腰Rt△ABE的頂點E為圓心，EA為半徑圓的）優弧AB（如圖3所示），學生通過對兩個情境的體驗，就可以找到處理辦法。

6．在活動中“算玩結合”動態的事物容易引起學生的注意。教學活動的過程是動態的，在活動的過程中，靜態的數學知識會“動”起來，學生就能從動態中感受知識，并與自己的生活經驗聯系起來，為深刻理解知識找到固著點，掌握起來就容易多了。［5］應用課程基地資源，將活動過程充分呈現出來，學生先獨立地體驗感悟，教師再“以基地個性化體驗讀取學生最近發展區，通過“一對一、手把手”地指導，向著學生天分努力”［6］。問題5正方體展開圖有多少種？在教室上課，師生更多的是用筆在紙上畫畫，教師至多用實體（也可能有個別學生將帶來的正方體盒子“剪”開來）展示。作為綜合實踐課在課程基地中進行，可用多媒體動畫、成品模型展示、（借用木工實驗室中資源）制作模型展示。教師個性化指導、學生之間互相幫助，（除去重合的）排列出35種6個正方形拼成的平面圖形（得出后為更清晰，教師可用PPT展示）。先判斷哪些能做成正方體，哪些不能做正方體，再動手操作。在得出11種展開圖后，師生總結規律。數學教學活動的過程得到全部呈現，切合新課標中倡導的操作、探索的學習方式，教學效果也好。

三、對應用“課程基地”資源進行高中數學教學的思考

我們雖然對數學理論十分重視，也意識到讓學生體驗過程的重要，但在實際數學教學中卻是更多地關注數學知識和解題技巧，在取得一些成績的同時，也影響了學生學習數學的興趣。學生的天性是“玩”，即進行快樂的、生動的、創造的、思維的自主活動。只有這樣，學生的學習之樹才能長青。“玩”的主體是學生，教的主體是教師，教是我們的使命，“教”不能直接轉化為學生的“玩”。但教可以轉化為學生的學，學的主體也是學生，“學”有可能轉化為“玩”。但在實踐中，這個思路往往到“教”轉為“學”就斷了。［7］這就要求我們思考如何將“教”轉化為“學”，再轉化為“玩”，筆者試圖通過“課程基地”資源的應用，將學進一步轉化到“玩”。為發揮課程基地的價值與功能，在實踐探索的基礎上，必須對應用“課程基地”資源進行數學教學作出自己的思考。

1．在動態與開放中運行“課程基地”建設將根據課堂教學需要和財力情況進行增補，也努力與其他“課程基地”合作，充分利用其他社會資源，也提倡師生將“個人資源”放進基地共享。因此，基地的資源是動態與開放的，必須“揚棄傳統、突破區域、立足課堂、提煉思想”，才能充分應用“基地”資源促進高中數學教學。（1）在應用中“揚棄”傳統。設施現代、理念超前的課程基地不應是對傳統的拋棄，新技術、新思想并不是突兀地出現，而是與傳統有著千絲萬縷的聯系，理清發展過程中“揚棄”的脈絡，會有助于知識的理解和觀念的創新。如應用3D打印，并不拋棄通用技術選修課木工課中的手工制作。（2）讓活動突破區域。在課程基地中的活動不應只局限在劃定的區域，可用基地專題網站或借出資源讓課程基地的活動延伸至校園、家庭和社會，爭取上級組織的活動在基地中進行，多與兄弟學校交流，走出去、請進來，在更為廣闊的天地中用“課程基地”資源進行數學實驗活動。發揮應有的作用，提高研究與應用水平，多出成果、出好成果，并有意識地將校園、家庭和社會中活動的“成果”，添加到“課程基地”的資源中。（3）在運行中立足課堂。課程基地如果只是注重硬件，花高價進行裝修、購置先進的儀器，不注重課堂的實效，就無法發揮應有的作用，注定會成為擺設。把工作重點放在“課程基地”資源建設與數學課堂教學的整合上，努力把高中數學核心內容融入基地的建設與運行中，優化課堂教學內容的呈現形式，構建自主學習平臺，轉變學習方式，提高數學學習的效能。（4）在思考中提煉思想。陶行之生活即教育思想對我們有極大的指導作用，但不能只是學習與引進，而應在對自己的生活與教育活動思考后，進行思想的概括、提煉，形成自己的數學教育思想：“在活動中尋求數學教育智慧、把數學教育過程變成有情趣的生活，把生活融入有意義的數學活動中。”

2．做好整體構建在課程基地規劃與設計中，對數學教學所需的“資源”進行了摸底，爭取納入課程基地建設中。然后在基地活動中有意識將數學教學中所需的實踐活動作為示范操作內容，引導數學教師在教學中有意識地用基地中的資源，探求處理問題的新方法；將數學教學中所需的實踐活動作為實驗作業，引導學生自主探索，找出處理數學學習中所遇到問題的方法。即：將“基地”資源與“數學教學”內容雙方作為整體放在一個共通的系統中，構建相互開放與結合的體系，讓對方成為自己的“資源”或自身的一部分進行教學和研究。幾年來，通過應用“基地”資源進行高中數學教學，改變了以往我校高中數學教學過于注重講授的傾向。教師形成了積極試驗、主動研究的教學態勢，數學教師在素質大賽中成績突出、教研科研成果豐碩、省教學成果獎榜上有名，滿足了教師和學校發展要求；學生形成了積極體驗、主動探究的學習方式，數學競賽成績突出、自主招生和高考捷報頻傳、科技創新大賽名列前茅，滿足了升學要求，又很好地實現了素質教育。

參考文獻：

［1］教育部《基礎教育課程》編輯部．中學新課標資源庫（數學卷）［M］．北京：北京工業大學出版社，2004：4－5．

［2］胡述洪．淺談高中數學實驗的功能及應用［J］．中小學教學研究，2015（7）：24－25．

［3］數學課程標準研制組．數學課程標準解讀［M］．南京：江蘇教育出版社，2004：108．

［4］董培仁．利用木工課“資源”進行立體幾何教學的實踐與思考［J］．高中數學教與學，2014（10）：1－3．

［5］曾木英．基于“背景”的數學教學：讓數學“活”起來［J］．中小學教學研究，2015（8）：20－22．

［6］馬斌．課程基地領跑學習的革命：關于開創課程基地建設的探索與思考［J］．江蘇教育（教育管理），2011（10）：46－50．

［7］郭思樂．改革核心：課程與教學的再造［J］．人民教育，2015（4）：21－26．

作者：董培仁 單位：江蘇省盱眙中學