金融數學
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摘要：簡述了金融數學理論的若干前沿問題和金融數學理論未來發展趨勢的展望﹑金融數學理論發展面臨的新挑戰。
關鍵詞：金融數學；美式期權；利率；衍生證券
1金融數學的若干前沿問題與展望
“B-S模型”對市場做了許多理想的﹑不切實際的假設。以默頓為代表的許多學者對“B-S模型”進行了各種各樣的推廣。推廣主要集中在對模型所依賴于成立的一系列假設條件的修正上。例如允許利率是時間的函數或隨機變量（如默頓的隨機利率模型）；允許股票在衍生證券的有效期內支付紅利；存在交易費用；對于標的資產，也推廣到其他種類，如外匯﹑期貨﹑利率等。這些推廣無疑是重要的，但仍有許多問題亟待解決。例如美式期權問題﹑利率的期限結構問題﹑市場的波動性與突發事件問題以及市場的不完全性和信息不對稱問題等都是當前金融面臨的重要研究課題。
1.1美式期權﹑利率的期限結構問題
在市場交易的期權大部分是美式期權。對于美式期權的定價，問題要比歐式期權定價困難得多。因為美式期權可以在到期前的任何時刻執行，這就牽涉到期權的最佳執行時間問題。一般情況下期權的最佳執行時間是一個十分復雜的問題，至今還沒有得到很好地解決。如果應用偏微分方程的方法來討論美式期權的定價，對應的偏微分方程的問題將變為“自由邊界”問題，在數學上是一個有趣而又困難的問題。一般情況下，美式期權沒有精確的解析定價公式，因而只能用數值算法或解析近似解，如蒙特卡羅模擬法﹑數圖法﹑有限差方分法等。除了美式期權外，還有很多新型金融產品，其定價也極具挑戰性。
在“B-S模型”中，利率是給定的常數。實際上，利率的變化是相當復雜的，不同性質﹑不同到期日的證券，利率的變化規律互不相同，這也就是利率的期限結構（TermStructureofInterestRates）。它通?？梢杂檬找媛是€的形式來表示。利率的期限結構包括三種理論：市場預期理論﹑市場分割和投資偏好理論﹑流動性偏好理論。這些理論分別從不同的角度對利率的不規則變化作出了解釋。近年來由于利率風險的日益突出，利率期權等利率衍生證券（InterestRateDerivatives）得到了迅速發展，利率的期限結構模型更顯重要。利率的期限結構的數學模型不斷提出。著名的有Vasicek(1977),Cox-Ingersoll-Ross(1985)和Hull-White(1990)等短期利率模型以及Ho-Lee(1986)和Heath-Jarrow-MorrtOn(1992)等長期利率模型。比如，Vasicek模型假設短期利率r(t)在風險中性概率下滿足Ornstein-Uhlenbeck過程:(dr(t)=a(b-r(t))dt+σdwt)
其中(a,b,σ)為正常數，(wt)為P下的一維標準Brown運動，該模型是第一個單因子模型，許多模型（如Cox-Ingersoll-Ross,Hull-White等模型）都是該模型的推廣?，F在比較流行的是多因子模型（如高維平方高斯馬爾科夫過程）。Ho-Lee和Heath-Jarrow-Morton模型則是直接用長期利率模型來描述利率的期限結構。
1.2市場的波動性與突發事件問題以及市場的不完全性和信息不對稱問題
金融市場的波動現象，一般可以歸結為隨機變量，以股票價格的波動為例。我們知道，股票價格的波動率是刻劃未來股票價格變動的一種最關鍵的變量。在“B-S模型”及其大部分推廣中，股票價格的波動率為常數，這在實際中是不合理的。為更準確地描述股票價格變化的規律，有幾種重要的因素必須考慮：股票價格的波動率對股票價格的依賴性；波動率與其它其它隨機變量的依賴性；股票價格可能的突然跳動（象1929年或1987年的股票市場崩潰那樣的事件）。隨機波動率模型能夠體現上述某些因素，目前受到極大的重視。這類模型（如Hull-White模型）假設波動率服從某一隨機過程，比如幾何布朗運動等等。在離散時間情形，自回歸條件異方差（AutoregressiveConditionalHeteroskedasticity,ARCH)模型是目前最常用的模型之一。它的種種推廣，如GARCH,EGARCH模型等。這些模型都是將原來分析時間序列的方法用來分析波動率。
對于重大金融震蕩，是否可以研究一種至少能解釋其若干特征的嚴格的定量描述呢？突發事件是“小概率事件”?；趥鹘y的平穩隨機過程的預測理論完全不適應。傳統理論或許能解釋市場在95%的時間里發生的情況。然而，如果人們承認突發事件就包括在剩余的5%的話，那么這個理論所描述的圖景就沒有反映實際情況。突發事件在金融領域中具有不容忽視的影響，像1997年的東南亞金融危機，就給一些國家造成了巨大的損失。現在有些研究人員認為，描述海岸線形狀和宇宙星系模式的分形理論可以解釋股票價格如何瘋漲與暴跌。分形和多分形的理論是本世紀最杰出的數學成就之一。分形和多分形的目的并不是要準確地預測未來，但它們確實常常是市場風險的更切合實際的描述。金融系統由于其多因素性﹑非線性和不確定性而顯得尤為復雜。金融系統的復雜性以及對突發事件的研究是金融數學的重要課題。
現實的證券市場是不完全市場。這常常表現為市場中的證券和股票投資組合是受到限制的。例如，不準賣空股票﹑不準貸款炒股﹑限制交易數量等。達菲（D.Duffie）等人在不完全市場的一般均衡理論方面作出了重要工作。他們的工作從理論上證明了金融創新的合理性和對提高社會資本資源配置效率的重大意義。另外，在現實的市場中，參與的經濟人掌握的信息是不對稱的（即信息不互通﹑掌握的信息不一樣）。在信息不對稱情況下，問題主要涉及到經濟人之間的相互對策。由于不對稱信息刻劃的困難，參與的經濟人的信息層次往往很多，問題的困難性可想而知的。數學處理就更為困難。3金融數學研究面臨的新挑戰
長期以來，人們用以描述金融經濟的數學模型從本質上來說只有兩類：一類是牛頓（Newton）的決定論模型，即給定初始條件或者狀態，則金融經濟系統的行為完全確定，第二類是愛因斯坦（Einstein）的隨機游動模型或者布朗（Brown）運動模型。簡單地說，即確定性模型和隨機性模型。確定性狀態和隨機性狀態也被認為是兩種對立的狀態。同時，所用模型的數學形式也基本上是線性的，或者存在非線性也是假設金融系統運行在線性穩定而加以一階線性化處理，這些似乎成了一種傳統和定式。尤其是近30多年來，金融界已分成兩派，一派是技術分析學者，相信市場遵從有規律的周期性循環；而另一派即定量分析學者則認為市場不存在周期性循環。最近的研究利用物理學中開發出的方法來分析非線性系統，認為真實情況介于兩者之間。這樣，金融數學至少面臨下列四個問題亟待解決。
首先，對金融經濟現象的變與動的直覺三性（隨機性，模糊性，混沌性）進行綜合分析研究，已確定從此到彼得過渡條件﹑轉換機理﹑演變過程﹑本質特征﹑產生結果以及人們所采取的相應的金融對策，尤其是貨幣政策。
其次，對以信用貨幣為核心的三量（貨幣需求量﹑貨幣共給量﹑金融資金流向流量）進行綜合分析研究，對貨幣均衡和非均衡的合理界定提供正確的金融理論以及數學模型，為改善社會總量平衡關系將對財政﹑金融﹑物質﹑外匯四大平衡提供依據。
再次，對支撐現代金融大廈的三大支柱即三率（利率﹑匯率﹑保率﹑擴至經濟領域還包含稅率﹑物價綜合指數）進行綜合分析研究，為制定合理的三（五）率體系提供符合實際的金融數學模型支撐。
最后，對分別以生產力要素選擇，地區或部門資源配置，綜合金融經濟指標為研究對象的三觀（微觀﹑中觀﹑宏觀）進行綜合分析研究，以便將其成果更充分地更廣泛地更方便地應用于金融經濟領域。（上述問題簡稱為“四個三工程”）隨著社會主義市場經濟的建立和發展，通貨膨脹時有發生和加劇，還會有新的更復雜的金融問題需要我們去研究，去探討，去解決。
參考文獻
［1］MertonR.C.,Continuous-TimeFinance.BlackwellPublisherInc.1996.
［2］KaratzasI,ShreveSE,MethodsofMathematicalFinance,NewYork:SpringerVerlag,1998.
