數學學習阻礙的認知特點與教學方案

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〔摘要〕本文介紹了有關數學和數學學習的觀點，側重于探討數學學習障礙在心理表征及工作記憶上的認知特點，在此基礎之上，結合目前國內外的研究成果對數學教學策略和訓練矯正提出建議。

〔關鍵詞〕數學學習障礙；心理表征；工作記憶；教學策略

數學是培養學生創新能力和實踐能力不可缺少的一門學科，更對提高國民素質起著重要作用。學齡兒童的數學能力的發展狀況也日趨受到全世界決策者的關注，并將其作為社會資本的潛在來源和維持科技社會健康發展的途徑。美國數學教師全國委員會(NCTM)出版的《學校數學的原理與標準》（2000）已經對數學課程進行了擴展，并提出“學習數學的主要目的在于問題的解決，是把學到的知識運用到新的和不熟悉的情景中去的過程”。盡管美國已經竭力推動學齡兒童數學能力的提高，但最近國外的研究[1]表明，依然有5%~8%的學齡兒童不能達到NCTM的標準，并且難以對這些兒童數學學習成績較差的原因作出很好的解釋。雖然原因復雜，但有一點是確定的，這些兒童在數學學習上存在特定的障礙，即數學學習障礙。在過去的幾年中，發達國家已經對數學學習障礙在工作記憶、數概念與計數知識、算術策略以及干預策略方面有較為系統的研究，但國內對該領域的研究起步較晚，研究數量尚少，因此對數學學習障礙的關注有助于促進我國在數學學習障礙領域研究的深入，也有助于為教育政策的制定和實施提供理論參考。

一、數學學習障礙

自美國學者柯克（S.Kirk）于20世紀60年代首先提出學習障礙（LearningDisability，LD），并從醫學角度定義學習障礙的概念以來，學習障礙就備受醫學、心理學、教育學的關注。數學學習障礙(MathematicsLearningDisability,MLD,MD)是學習障礙研究的重要領域之一，是指由于數學能力的缺損而導致學生在數學學習上的落后，即明顯落后于同年齡或同年級的水平的現象，表現為數學領域的學習困難[2]。目前廣泛采用的數學學習障礙的診斷標準主要是依據美國學習障礙聯合委員會(NationalJointCommitteeofLearningDisability,NJCLD)制定的學習障礙診斷模型的三個標準，即納入標準：標準化成就測驗分數顯著低于正常水平；排除標準：排除其他諸如感官問題、智力發展落后或文化差異等原因；需求標準：需要接受特殊教育輔導。國內的一些研究作出具體診斷時大多基于此標準。

二、數學學習的心理學內涵

數學是學校教育的基礎學科，談到數學學習障礙，就不得不提及數學和數學學習的本質特點。理論上來說[3]，數學是一系列概念性、程序性、陳述性知識的描述和關于如何運用這些知識解決問題的理論。概念性知識是一種心理結構，是兒童運用數學進行推理的基礎。與先前所學的概念的聯系將幫助兒童獲得對深層次的概念的理解。對兒童來說，最難理解的問題是那些難以與他們已有的心理表征建立聯系的問題。程序性知識包括在解決數學問題時所需要使用的一連串的自動化技能，例如，當某個數字與10相乘時，只需要在這個數字后面加上一個0就得到答案。陳述性知識是指那些人們能夠不假思索地從記憶中提取的數學性的概念，例如，當呈現數字6，兒童會想起“2+4”或者“3+3”等。

數學學習的范疇不只局限于概念性、程序性、陳述性知識等領域，還包括理解和認知溝通的能力，如對數學的態度、準確計算的信心、數學學習的情緒等方面。數學是一個擁有它自己的一套符號和使用規則的語言，兒童要使用數學語言理解數學符號和工具的全部功能，并在問題解決的過程中，明確地使用這種數學語言。因此，盡管數學學習是基于兒童思維過程內的知識結構進行的，但數學問題解決過程中的其他部分，如描述、提問、討論、預測、與他人交流的活動對兒童的數學知識的增長也是十分必須的。數學學習的根本目的是學會數學方法和數學思維，而不僅僅是學會數學知識。

三、數學學習障礙的認知特點

自認知心理學誕生以后，從信息加工的角度研究數學學習障礙已成為一種主導性的范式，研究者開始對影響兒童數學發展的基本認知機制進行研究，當前對數學學習障礙的認知加工機制的研究主要集中于心理表征和工作記憶領域。

1.心理表征

心理表征是指客觀事物在頭腦中以某種方式顯現。認知心理學認為，解決問題首先要理解問題，即以最佳的方式對問題加以表征。同一事物或問題的不同心理表征會產生對問題的不同理解。好的心理表征不僅能將數學問題組織成較少的“組塊”，減少記憶的需要，還能讓問題解決者組織起問題解決的策略并預期獲得答案所遇到的阻礙。問題表征作為問題解決的中心環節，其質量影響到問題解決的難易程度，是問題能否成功解決的關鍵[4]。數學心理表征包括符號建構、概念意義的確立、視覺空間圖示和策略啟發過程。數學學習障礙兒童的困難大多在于他們沒有或者未能構建恰當的心理表征。相關研究也證實，數學障礙兒童在問題解決中表現出的困難與他們對問題的表征有關，數學學習障礙兒童問題解決的表征時間較短、類型單一、缺乏有效性。

一些研究表明，在解決問題時，數學學習障礙兒童更多是注意問題的顯著特征，而忽略問題條件中的隱含關系，他們的心理表征缺乏抽象的信息，難以最大限度地激活已有圖式中的知識組織，這樣就影響他們在解決問題時有效地搜索問題空間，尋找問題解決的途徑。

對數學問題的心理表征同樣也影響到解題策略的選擇。在策略使用上，正常兒童或數學能力強的兒童較多使用前推策略（forward-workingstrategy），從問題表征開始產生假設并檢驗假設，然后接近目標或解決問題。數學學習障礙兒童多采用逆推策略（working-backwardstrategy），先選擇一種可能的目標或問題解決狀態，然后向初始信息逆推，看能否得到支持，如此反復。與此同時，數學學習障礙兒童更可能訴諸于不成熟的策略（如數手指）以減少所需的認知資源，而且他們很少檢驗和自我監督他們得出的結論，很少意識到他們的錯誤，并且當新的限制性條件出現時，他們往往只顧代入數字而忽略了檢查結果是否正確和有意義。

2.工作記憶

1974年，巴德林（Baddeley）和希契(Hitch)在分析記憶信息三級加工模型時提出工作記憶（workingmemory,WM）這一概念，認為它是一種對信息進行暫時加工和貯存的能量有限的記憶系統，由三個部分組成，即視覺空間模板：主要處理視覺空間信息；語音回路：負責以聲音為基礎的語音儲存與發音控制加工；中央執行系統：負責各子系統之間以及它們與長時記憶的聯系，也負責注意資源的協調和策略的選擇與計劃，是工作記憶模型的核心。

數學學習是一種復雜的認知活動，在這種認知活動中，中央執行系統涉及策略選擇、任務轉換等核心功能；語音回路主要參與計數和復雜計算的信息保持，同時也與問題解決有關；視空模板則負責多位數計算、圖形圖表的理解加工和空間信息的編碼轉化等。研究者認為，工作記憶存在缺陷可能是造成數學學習障礙的主要原因之一，數學學習困難兒童大多存在視覺空間模板、語音回路以及中央執行器功能等方面的缺陷，雖然這些結構的功能各有側重，但它們對數學學習障礙兒童數學能力的運用產生了綜合影響。數學學習障礙與工作記憶廣度有關，數學學習困難兒童的數字記憶廣度不如正常兒童，工作記憶容量小的兒童沒有足夠的認知資源來提取和更新信息，這樣也就導致問題解決中的知識儲備不足。數學學習障礙兒童可能存在從記憶中提取數學知識的困難，以及記憶提取的過程因不能有效抑制外界信息的干擾而受到影響。與數學優秀兒童相比，數學學習障礙兒童的語言加工速度、短時記憶、中央執行功能以及整體工作記憶能力方面都存在明顯不足。數學學習障礙兒童在問題解決的準確性、語音加工、一般領域的工作記憶和言語工作記憶上也都低于同齡兒童。

四、對教學的啟發和建議

數學本身是一門結構性、系統性很強的學科，當代的數學教學方法大多強調記憶和自動化的計算技能，而忽略了在實際生活中如何理解和運用數學語言的能力，基于學齡兒童的數學學習障礙的研究現狀，心理表征能力和工作記憶能力作為影響數學學習障礙的主要原因，將是數學障礙教學干預的重要主題，因此，從這個角度來探討改善數學學習障礙兒童的數學教學具有重要意義。

在教學策略上，可以教授兒童識別并區分具體問題的心理表征，將數學問題按不同的心理表征分成不同的類型，鼓勵他們挖掘文字的深層結構而不僅僅是表面意思。在解決實際生活中的問題時，學生會受到已有知識的影響，更容易把他們對抽象的數學符號和工具的理解進行交流，但由于數學學習障礙兒童會受到無法提取相應的數學知識的影響和無法將問題數學化的困難，或者數學工具也許沒有產生對于他們來說及時可用的作用，他們往往使用較少的元認知策略來自我調控問題的解決過程，或者并不能運用這些工具清晰明了地解決生活中遇到的問題，教師在針對數學障礙兒童的數學教學中的挑戰之一就是如何尋找一種方法，使抽（下轉第16頁）（上接第12頁）象數學概念和語言的功能在學生實際生活環境中突顯出來。因此，教師需要注重數學思想方法的滲透，并提供問題解決的策略。可以給兒童相對寬松的時間，教會他們如何監控和調節自身的思維，通過認知策略和記憶策略加強對于陳述性知識和程序性知識的掌握，并通過增加兒童的概念性知識和程序性知識來改善問題解決過程中的自我管理，包括自我評估（獨自解決問題能力的評估）、自我記錄（自我調控和檢查解決問題的準確性）和自我學習（通過問題解決方案提供促進線索），并培養學生獨立思考的能力。

此外，教育者和研究者已經注意到，情緒調節對兒童的數學能力有重要影響。數學經常不及格的學生容易形成低自我效能感，可以預測他們認知策略的無效使用和有限的數學元認知知識。對數學的焦慮以及對自己在數學活動中個人能力的恐懼、緊張和無助，已經抑制了學生的學習目標和愿望，并會影響學生的學科選擇（偏科）。數學學習障礙兒童對自己解決數學問題能力方面的自我評估準確性更低，當他們在問題解決中遇到困難時，往往預期自己完不成認知任務，從而較少地投入到認知活動中或繼續堅持，因此需要從教師或其他成人那里得到指導性的支持。教師可以通過與他們進行互動對話，使問題解決成為一個互相分享的活動，幫助他們去認識學習數學的作用，共同對所呈現的數學符號和概念進行解釋。教師還可以鼓勵學生之間以合作的形式解決問題。

另一個矯正的途徑是基于工作記憶過程的認知訓練。當前，工作記憶訓練在學習障礙領域的應用已經越來越受到重視，也取得了良好的效果。系統的工作記憶訓練包括系統高密度的訓練課程和訓練任務。訓練的課程和任務是經過設計的，往往采用一對一的個體化教學方式進行，注重個體差異。常見的訓練方式是在教師的指導下基于計算機任務而進行的。